Déterminer une équation cartésienne avec deux points

[Laura1996]

Bonjours j'ai un DM a rendre Mardi,je suis en première S, et je bloque à une question essentiel pour pouvoir continuer là suite.

Nous sommes dans un repère ( A , vecteur AB ; vecteur AD)
je connais les coordonnées du point B(1;0) et C(a;1)
je dois déterminer l'équation cartésienne de la droite BC.


Je remerci d'avance à tout ceux qui pourront m'aider.

[Skare]

Salut,

(BC): y = ax+b

a : le coefficient directeur de (BC) =
b : l'ordonné à l'origine.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Est-ce que vous connaissez l'équation générale d'une droite ?

[Anonyme]

Comme les coordonnées des 2 points B et C sont :B(1;0) et C(a;1)
il faut comprendre que a est un nombre donné

Il y a 2 cas à étudier car la droite (BC) peut être une droite verticale si a=1

donc étudie le cas a=1 séparément

Puis étudie le cas

Par exemple : pose l'équation de la droite (BC) : y=mx+p
et recherche les 2 nombres m et p en explicitant le fait que
les coordonnées du point B vérifient
et
les coordonnées du point C vérifient

Cela va te donner un système de 2 équations à 2 inconnues ( qui sont m et p ) à résoudre

Il faut donc calculer m et p en fonction de a

[Dlzlogic]

Comme les coordonnées des 2 points B et C sont :B(1;0) et C(a;1)
il faut comprendre que a est un nombre donné
Il y a 2 cas à étudier car la droite (BC) peut être une droite verticale si a=1
donc étudie le cas a=1 séparément

Je trouve curieux cette méthode raisonnement. La droite BC est parfaitement définie quel que soit a.
Par contre, une fois l'équation établie, on peut évoquer les cas particuliers.
Mais naturellement ceci que mon avis.
Le terme "vertical" est un peu étonnant dans le cas d'un repère cartésien quelconque.

[Anonyme]

@Dlzlogic
Pour ton information :
Jusqu'en classe de première (quand la notion d'équation cartésienne d'une droite dans est enseignée : c'est à dire comme tu le sais avec

les élèves pensent ou croient (à 97,25%) que l'équation d'une droite est
et ne pensent pas encore à l'équation : qui est comme tu le sais l'équation d'une droite "dite verticale...."

[Laura1996]

je suis nouvelle sur le forum et je n'ai pas réussi à voir vos réponse hier, donc excusez-moi de ne répondre que aujourd'hui.

Oui oui je sais déterminé une équation de droite de type y=mx+p seulemené t dans cet exo, le repère a été formé par deux coté d'un trapèze donc selon comment je fais mon trapèze l'abscice "a" du point C est variable. En cherchant hier jai placé un point P(x;y) sur la droite (BC) et j'ai calculé les coordonées du vecteur BC et du vecteur BP (biensur je n'ai pas de nombre réel mais en suite j'ai utilisé la règle de colinéarité de deux vecteur si xy'-x'y = 0
et je suis parvenu a une équation cartésienne de (BC) : -x + (a-1)y + 1 = 0

donc pour ax + by + c = 0 mon a = -1 ; b=(a-1) et c= 1
pensez -vous que c'est correcte ?


cependant je vous remerci tous de m'avoir répondu :D

[Laura1996]

Comme les coordonnées des 2 points B et C sont :B(1;0) et C(a;1)
il faut comprendre que a est un nombre donné

Il y a 2 cas à étudier car la droite (BC) peut être une droite verticale si a=1

donc étudie le cas a=1 séparément

Puis étudie le cas

Par exemple : pose l'équation de la droite (BC) : y=mx+p
et recherche les 2 nombres m et p en explicitant le fait que
les coordonnées du point B vérifient
et
les coordonnées du point C vérifient

Cela va te donner un système de 2 équations à 2 inconnues ( qui sont m et p ) à résoudre

Il faut donc calculer m et p en fonction de a

selon ma figure a n'est pas un nombre donné, je voulais définir a moi aussi en fonction de mon repère mais selon comment je forme mon trapèze de départ a est variable

[Laura1996]

@Dlzlogic
Pour ton information :
Jusqu'en classe de première (quand la notion d'équation cartésienne d'une droite dans est enseignée : c'est à dire comme tu le sais avec

les élèves pensent ou croient (à 97,25%) que l'équation d'une droite est
et ne pensent pas encore à l'équation : qui est comme tu le sais l'équation d'une droite "dite verticale...."

justement étant d'un un repère qui n'est pas orthonormal m'a droite ne peut pas être vertical et j'ai oublié de mentionné que je n'ai eu aucun cour sur les équations cartésiennes car ma prof de math a été été absente déja 4h, et jai eu le meme ds que les autres alors qu'eux ont le cour et moi non

[Laura1996]

Juste une dernière question à vous poser.

Dans la question f) on me demande de déterminer les équations cartésienne de (AC) et (BD) pour déterminer les coordonées du point K (point d'intersection des deux droites)
jai reussi cette question est je suis abouti a k(ay ; 1-ay) .
pour la question g) jai besoin de calculé les coordonées du vecteur MK donc avec k( ay ; 1-ay) et M( 0 ; -1 / a-1 )

j'utilise donc pour le vecteur MK = xK - xM ; yK - yM
Donc MK = ay - 0 ; (1- ay ) - ( -1/a-1)
mais je ne parviens pas à réaliser ce calcule :/

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je veux bien vous aider, mais vous en êtes à la question g), faites moi un rapide résumé de ce à quoi on abouti pour arriver là.

[Laura1996]

Bonjour,
Je veux bien vous aider, mais vous en êtes à la question g), faites moi un rapide résumé de ce à quoi on abouti pour arriver là.

Bonjour
je vous envois un message avec la figure ? comment on fait pour mettre une pièce jointe
alors le repère est (A;vecteur AB; vecteur AD)
b) jai justifié les coordonées de A,B, D et I
A(0 ; 0 )
B(1;0)
D(0;1)
I étant le milieu de AB jai trouvé I( 1/2 ; 0 )

c) jai déterminée les coordonées de C et J en fonction de a qui sont C (a ;1) J (1/2 de a ; 1)

d) jai déterminer l'équation cartésienne de (BC) et et (AD), jai fais un système des avec les deux équation cartésienne et j'ai ainsi trouvé les coordonées de M.

e)jai montré que M,I et J sont alignées grâce à la colinéarité des vecteurs MI et MJ
ensuite

f) j'ai déterminé l'équation cartésienne de (BD) et (AC), et avec un système jai trouvé les coordonées de K ( ay ; 1- ay)

g) on me demande de conclure donc j'aimerais montré que M, I, K et J sont alignés. pour ce faire, je voudrait calculé le vecteur MK ce qui je vous ai di dans le commentaire au quel vous avez eu la gentillesse de me répondre. et donc j'espère une fois avoir trouvé les coordonées du vecteur MK montré la colinéarité des vecteurs MK et et MJ (ou MI) en utilisant xy'-x'y = 0
Seulement je n'arrive pas a aboutir à la fin du calcule des coordonées de MK qui est : ay - 0 ; (1- ay) - (-1 / a - 1)

[Dlzlogic]

Pour copier des figures, y'en a qui sont très doués, mais moi, je sais pas le faire.

g) on me demande de conclure donc j'aimerais montré que M, I, K et J sont alignés. pour ce faire, je voudrait calculé le vecteur MK ce qui je vous ai di dans le commentaire au quel vous avez eu la gentillesse de me répondre. et donc j'espère une fois avoir trouvé les coordonées du vecteur MK montré la colinéarité des vecteurs MK et et MJ (ou MI) en utilisant xy'-x'y = 0
Seulement je n'arrive pas a aboutir à la fin du calcule des coordonées de MK qui est : ay - 0 ; (1- ay) - (-1 / a - 1)

C'est un problème de géométrie intéressant, qui met en oeuvre les faisceaux de droite.
Mais il s'agit ici de calculs analytiques.
Si j'ai bien lu, K est l'intersection de AC et BD. Ses coordonnées ne dépendent que du seul paramètre a. Elles ne peuvent donc pas dépendre d'un quelconque y.
Donc, reprenez la question f).
Donnez moi l'équation de AC et celle de BD. Et la suite des calculs.

[Anonyme]

justement étant d'un un repère qui n'est pas orthonormal

Si a=1
la droite (BC) est parallèle à ton axe des ordonnées de ton repère
et la droite (BC) a pour équation x=1

[Laura1996]

Si a=1
la droite (BC) est parallèle à ton axe des ordonnées de ton repère
et la droite (BC) a pour équation x=1

je ne peux pas fixé a car le repère dépend de la manière dont jai fromé un trapèze au départ, si je pouvez vous scanné ma figure se serai plus simple mais je n'y arrive pas :/

[Laura1996]

Pour copier des figures, y'en a qui sont très doués, mais moi, je sais pas le faire.

C'est un problème de géométrie intéressant, qui met en oeuvre les faisceaux de droite.
Mais il s'agit ici de calculs analytiques.
Si j'ai bien lu, K est l'intersection de AC et BD. Ses coordonnées ne dépendent que du seul paramètre a. Elles ne peuvent donc pas dépendre d'un quelconque y.
Donc, reprenez la question f).
Donnez moi l'équation de AC et celle de BD. Et la suite des calculs.

l'équation de (BD) est -x - y +1 =0
" de (AC) est -x + ay = 0
il ya des Y car pour trouvé les équations cartésienne jai du ajouté un point E(x;y)appartenant a (BD) et un point F(x;y) appartenant à (AC)


le calcule que vous voulez c'est le système des deux équations que jai faite ?

[Anonyme]

si alors l'équation de la droite (BC) est du type
avec
m : le coefficient directeur de la droite
p : l'ordonnée à l'origine

[Dlzlogic]

Si a=1
la droite (BC) est parallèle à ton axe des ordonnées de ton repère
et la droite (BC) a pour équation x=1

Oui, merci de cette intervention, mais je crois que notre amie a bien compris que dans ce pas particulier là, le trapèze devenait un parallélogramme, que le point M était rejeté à l'infini et que le point K avait pour coordonnées (1/2 ; 1/2).
Toute la question est naturellement de savoir si les cas particuliers doivent être traités au début ou à la fin.
Si ce problème t'intéresse, va voir la discussion http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=120597&highlight=bilin%E9aire

[Dlzlogic]

l'équation de (BD) est -x - y +1 =0
" de (AC) est -x + ay = 0
il ya des Y car pour trouvé les équations cartésienne jai du ajouté un point E(x;y)appartenant a (BD) et un point F(x;y) appartenant à (AC)


le calcule que vous voulez c'est le système des deux équations que jai faite ?

Je suis d'accord pour les 2 équations.
Donc le point K (xk; yk) est celui qui satisfait les deux équations.
D'où xk+yk -1 =0
et -xk + a yk =0
Qui admet en générai une solution

[Laura1996]

Je suis d'accord pour les 2 équations.
Donc le point K (xk; yk) est celui qui satisfait les deux équations.
D'où xk+yk -1 =0
et -xk + a yk =0
Qui admet en générai une solution

je n'ai pas trop compris :S