[Résolu] Groupe des automorphismes intérieurs

[yggdrasiil]

Bonjour,

J'ai une proposition qui dit :

Soit G un groupe. Si le groupe des automorphismes intérieurs Inn(G) est cyclique, alors G est abélien.

Mais voilà, je n'arrive pas à la montrer.

(Mon prof à l'habitude d'employer cette notation : Inn(G) est défini par )
J'ai commencé par supposer que , étant donné qu'il est cyclique.
Puis, on prend et . J'aimerais maintenant montrer que , mais je n'y arrive pas...

Est-il possible d'exprimer en fonction de ? Existe-t-il n tel que , dû au cyclisme du groupe Inn(G) ?

[leon1789]

Est-il possible d'exprimer en fonction de ? Existe-t-il n tel que , dû au cyclisme du groupe Inn(G) ?

Oui, c'est possible si est un générateur du groupe par exemple.

[Doraki]

Tu pourrais montrer que k commute avec tout le monde, pour un début (un k tel que ik soit générateur de Inn(G).

[yggdrasiil]

Oui, c'est possible si est un générateur du groupe par exemple.

Ok, mais pour un x quelconque ?

[leon1789]

Ok, mais pour un x quelconque ?

pour un x quelconque non : si on prend , on a alors , ce qui n'engendre pas grand chose.

[yggdrasiil]

Tu pourrais montrer que k commute avec tout le monde, pour un début (un k tel que ik soit générateur de Inn(G).

Merci pour cette idée, elle m'a permis de résoudre mon problème.

Soit tel que .

1. On montre que :
Soit . tel que . De là, et donc .

2. Soit quelconque cette fois : par le point 1 et donc

On a montré que le groupe est abélien. Mais bon, dans ce cas Inn(G)={Id}, non !? C'est un peu un abus de langage que de parler de groupe cyclique...

[leon1789]

On a montré que le groupe est abélien. Mais bon, dans ce cas Inn(G)={Id}, non !? C'est un peu un abus de langage que de parler de groupe cyclique...

Oui, vu comme ça, c'est un peu étrange.
Mais on peut dire aussi :
si Inn(G) n'est pas trivial alors Inn(G) n'est pas monogène.
Ca fait déjà plus "technique" :zen:


J'ai une autre preuve (au moins dans sa rédaction) :

Soit
S'il existe tel que engendre et alors x et y commutent
car

[ThSQ]

Ou, on a, classiquement, G/Z(G) ~ Inn(G) donc si Inn(G) est cyclique tout élément de G s'écrit avé a un générateur et g dans Z(G). Clairement tous les commutent entre eux.

Inn(G) est une bonne mesure du caractère commutatif ou no d'un groupe :id:

[leon1789]

Ou, on a, classiquement, G/Z(G) ~ Inn(G) donc si Inn(G) est cyclique tout élément de G s'écrit avé a un générateur et g dans Z(G). Clairement tous les commutent entre eux.

ok, merci pour cette info :we:

[ThSQ]

ok, merci pour cette info :we:

vu le nombre de typos de mon post :marteau: je prends ça pour de l'ironie :zen: