Groupe d'automorphismes

[Nightmare]

Zavonen > Oui c'est le même problème que Kazeriahm, G est isomorphe à son groupe d'automorphisme intérieur certes mais ce n'est pas en soit le problème. Comme l'a expliqué Skilveg, l'énoncé sous entend que G est isomorphe à un groupe d'automorphismes d'un certain objet donné !

[skilveg]

Ou alors j'ai rien compris au film.

Tu es un peu dur avec toi-même là ^^ Sur la page que tu donnes en lien, ce n'est pas le résultat dont on parle: c'est " est un sous-groupe du groupe des automorphismes d'un objet", pas "il existe un objet dont est le groupe des automorphismes (tout entier)". Par ailleurs l'injection de dans donnée par la multiplication à gauche est plus simple à mes yeux.

A moins que tout groupe contienne un sous-groupe distingué de commutateur trivial (ce qui n'est pas le cas, cf groupes simples), je ne vois pas comment relier les deux problèmes. Contrairement à ce que tu dis Nightmare, un groupe n'est pas isomorphe à son groupe d'automorphismes intérieurs.

[Par ailleurs, la dernière suite exacte de cette page était inexacte (en vu que est surjective).]

[yos]

Ce que propose Kazeriahm, c'est le théorème de Cayley : tout groupe (G,.) est isomorphe à un sous-groupe de S(G).
Résultat facile, mais qui montre déjà qu'il n'y a pas de groupes abstraits.

A propos d'abstrait, j'adore le foncteur d'oubli. J'en suis un peu victime ces temps-ci.

[Zavonen]

c'est "G est un sous-groupe du groupe des automorphismes d'un objet", pas "il existe un objet dont G est le groupe des automorphismes (tout entier)". Par ailleurs l'injection de G dans \mathfrak{S}_G donnée par la multiplication à gauche est plus simple à mes yeux.

Bon, alors on va dire que j'en ai compris la moitié. Effectivement ce n'est pas le même énoncé. Mais je vais me trouver une excuse. Quand on dit c'est un groupe de 'trucs', il est couramment accepté de comprendre que c'est un groupe dont les éléments sont des 'trucs' donc un sous-groupe d'un groupe de trucs.

[kazeriahm]

Oula, effectivement mes fonctions d'arrivées ne sont pas des morphismes... S'rait temps que j'arrête de fumer ma brosse à dents. Mille excuses.

[abcd22]

Dans mon cours est énoncé sans preuve le résultat amusant suivant :

Tout groupe G est isomorphe à un groupe d'automorphismes

L'énoncé n'est pas plus précis que ça ? Parce que si ça veut dire que G est isomorphe au groupe d'automorphismes d'un objet d'une catégorie quelconque il suffit de prendre la catégorie à un objet X avec Hom(X,X) = G, avec comme composition la loi de groupe sur G.

[skilveg]

C'est pas faux! ;b

Pour l'instant le seul argument que je vois c'est que les constructions par foncteur d'oubli ou -ensemble ne font pas intervenir de catégorie complètement ad hoc... Qu'est-ce que tu en penses Nightmare?