Groupe des automorphismes et projecteur

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un exercice sur les applications linéaires, mais j'ai un peu du mal, surtout au niveau du raisonnement :

-
Soit un K-ev

Soit un sous-groupe finie de cardinal du groupe des automorphismes de

Soit l'endomorphisme

Je dois montrer que est un projecteur.
-


Ce que j'ai fait :

Déjà :

Je vais noter les éléments de


Alors :

donc :


Maintenant, pour chaque , j'introduis l'application de dans , qui à tout associe

J'ai montré que cette application est bijective (car elle est injective et ses ensemble de départ et d'arrivée sont de même cardinal)


Alors :

Mon souci, c'est comment dire que :

Est-ce que le fait que comme sont des bijections de dans qui est un ensemble fini, alors, si elles "parcourent" , elles vous "redonner" exactement tous les éléments de ?

C'est là que j'ai du mal à expliquer, car si ce passage est bon, je peux conclure assez vite, car dans ce cas on trouve que :



soit


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Ben314]

Salut,
J'ai pas tout lu jusqu'à la fin vu qu'il me semble que tu te fait bien ch... pour pas grand chose.
Si g est un élément fixé d'un groupe G, tu pense quoi de l'application de G->G qui à f associe fg ?
Et donc c'est quoi l'ensemeble des fg lorsque f décrit G ?

[Ben314]

En lisant toute ta prose, c'est là qu'il y a un GROS (pour ne pas dire ENORME...) problème

...Est-ce que le fait que comme sont des bijections de dans qui est un ensemble fini, alors, si elles "parcourent" , elles vous "redonner" exactement tous les éléments de ?

C'est quoi la définition d'une bijection ?

[jonses]

Salut,
J'ai pas tout lu jusqu'à la fin vu qu'il me semble que tu te fait bien ch... pour pas grand chose.

On me le dit souvent (et pas que ma prof :ptdr: )

Si g est un élément fixé d'un groupe G, tu pense quoi de l'application de G->G qui à f associe fg ?

Elle est bijective

Et donc c'est quoi l'ensemeble des fg lorsque f décrit G ?

C'est G

[jonses]

En lisant toute ta prose, c'est là qu'il y a un GROS (pour ne pas dire ENORME...) problèmeC'est quoi la définition d'une bijection ?

Tout élément de l'ensemble d'arrivée admet un unique antécédent par la bijection en question

[Ben314]

Tout élément de l'ensemble d'arrivée admet un unique antécédent par la bijection en question

Cze qui signifie que, dans le cas où les ensembles sont finis, lorsque tu écrit les images des différent élément de départ, ben tu écrit une fois et une seule les différents éléments de l'ensemble d'arrivé.
Donc perso, j'aurais juste écrit que, comme l'application f->fg est bijective (pour g fixé), lorsque f décrit G, fg décrit aussi G et donc

[Ben314]

En fait, ta remarque me laisse un peu perplexe dans ma tête :

Si A est un ensemble fini, B une partie d'un groupe additif et que est une bijection de dans , face à la question "pourquoi a-t-on ?", ben je sais rien dire d'autre que "c'est évident..." et... c'est pas une réponse...

[jonses]

Cze qui signifie que, dans le cas où les ensembles sont finis, lorsque tu écrit les images des différent élément de départ, ben tu écrit une fois et une seule les différents éléments de l'ensemble d'arrivé.
Donc perso, j'aurais juste écrit que, comme l'application f->fg est bijective (pour g fixé), lorsque f décrit G, fg décrit aussi G et donc

En fait j'essayais d'expliquer ça, mais je trouvais pas les mots justes, et puis je sais même pas si j'avais vraiment besoin de faire toute une prose pour tenter d'expliquer ce résultat (en fin de compte, j'ai dit surtout des co***ries au lieu de donner une explication convenable)

En fait, ta remarque me laisse un peu perplexe dans ma tête :

Si A est un ensemble fini, B une partie d'un groupe additif et que est une bijection de dans , face à la question "pourquoi a-t-on ?", ben je sais rien dire d'autre que "c'est évident..." et... c'est pas une réponse...

Grosso modo, je voulais expliquer ça dans mon raisonnement, pour éviter de sortir des égalités type "je les sors de mon chapeau", mais c'est plus de la bouilli finalement qu'une explication :ptdr: