Intégrale recalcitrante

[chwebij]

bonjour
je me retrouve dans le cas d'une étude par perturbation avec cette intégrale à calculer

avec et constants
et je suis pas foutu de la résoudre
j'ai cherché dans un handbook d'intégrales mais je ne trouve pas mon bonheur.
bon je suis sûr que la fonction s'exprime à partir d'une somme (genre fonction de Bessel) mais bon: je bloque!
si quelqu'un à une idée?

je vous remercie d'avance

ps: les logiciels de calcul formel n'ont rien donné (Maple et le site Integrator)

[busard_des_roseaux]

Bjr,

trois petites idées sans avoir la solution:

1) on peut sortir de l'intégrale par


2) en utilisant les parités et les périodes, se ramener à un intervalle
plus court où est bijectif, croissant

on doit pouvoir se ramener à une intégrande du style

3) sinon, si on développe en série le sinus (extérieur), on récupère des intégrales de Wallis (d'intégrandes des puissances du sinus intérieur.)

[busard_des_roseaux]

bon, en fait , il semble que ce soient les idées (1) et (3) qui marchent:

- on sort w2 de l'intégrale
- on considère le sinus comme la partie imaginaire de l'exponentielle
- on développe en série
- on tombe, après réduction à l'intervalle ,
sur des intégrales de Wallis que l'on calcule.
Les termes d'exposants impairs ont déja disparu.
- ça se simplifie. Tu devrais obtenir le résultat sous forme d'une jolie série qui "ressemble" à l'exponentielle. Il ne reste ensuite plus qu'à séparer partie réelle et imaginaire.

[chwebij]

tout d'abord merci
donc on a:





bon je vais me premettre de permuter ca..



au revoir les termes impairs




j'introduis l'intégrale de Wallis





:doh: ca l'air trop beau pour être vraie!!

d'ailleurs je me demande si on peut intégrer
par le théorème des résidus... on verra bien

[busard_des_roseaux]

super.


sinon les intégrales de polynomes sur [-1,1] avec le poids ont une quadrature exacte avec une formule
liée aux polynomes de Tchebycheff dûe à Gauss.

Je t'écris ça à tout hasard, si jamais tu en as besoin.
Pour les résidus, j'y crois pas trop.

[chwebij]

mouef... de plus ce résultat ne m'arrange pas du tout car unitilisable..j'aurais voulu garder juste les premiers termes de la série (pour du numérique) mais vu que est extrement grand (de l'orde de 10^12), les termes de la série doivent décroitre à partir d'un n assez grand.

sinon encore une fois merci

[busard_des_roseaux]

mouef... de plus ce résultat ne m'arrange pas du tout car unitilisable..j'aurais voulu garder juste les premiers termes de la série (pour du numérique) mais vu que est extrement grand (de l'orde de 10^12), les termes de la série doivent décroitre à partir d'un n assez grand.

sinon encore une fois merci

euh, oui et non.
La série trouvée, elle ressemble quand même (très vaguement) à celle de
, c'est-à dire, bien qu'ayant perdu les propriétés très particulières de la série exponentielle, on peut quand même travailler avec cette série, en termes de limite, de dérivée, d'équivalent,
de comportement asymptotique,etc..

en particulier, elle doit tendre vers zéro très vite quand tend vers

[JJa]

Bonjour chwebij,

c'est une fonction de Bessel J0(x)
Tu dois trouver = -sin(w)*J0(x) avec x=rac(2*I)

[chwebij]

aaaaaaaaaah
je savais bien que Bessel y était pour quelque chose!!!
franchement je voudrais vous dire un grand bravo car ca me permettra d'aller plus loin dans mon stage!!!Encore merci!!

[chwebij]

bonjour
en fait j'ai trouver dans un bouquin, la formule: