Une égalité récalcitrante

par **Pythales** » 22 Mai 2007, 13:35

J'ai établi par déduction que

mais je n'ai pas encore réussi à le démontrer.
Si vous avez plus de chance que moi ...
(les angles sont en degrés bien sûr)

par **Pythales** » 22 Mai 2007, 16:40

Précision :

(ça n'apparaît pas nettement ...)

par **redwolf** » 22 Mai 2007, 17:00

en somme, si je comprends bien ?

par **yos** » 22 Mai 2007, 21:58

Le coup de l'égalité démontrée par Hardy en 1922 ça va une fois.

par **alben** » 22 Mai 2007, 23:12

yos a écrit:Le coup de l'égalité démontrée par Hardy en 1922 ça va une fois.

Bonsoir yos,
Tu peux expliquer : ça n'a pas l'air d'une question tordue puisqu'on a des relations assez simples, par exemple tg(80°)= tg(50°+30°) et tg(80°)=tg(2x40°)
avec tg(40°)=1/tg(50°) et tg(60°)=1/tg(30°), on devrait pouvoir réduire tout ça.
Ca a plutôt l'air fastidieux

par **yos** » 23 Mai 2007, 00:26

Salut Alben.
Je plaisantais car je me doute bien que cette égalité est plus facile que l'intégrale de Hardy-Coxeter que Pythalès a proposée récemment.
Cela dit, j'ai calculé pendant près d'une heure et j'ai exprimé tan30 en fonction de tan80, tan50, tan60 d'une douzaine de façons, mais aucune n'est la bonne. D'où ma frustration.
En exprimant le second membre à l'aide de deux seulement des trois réels tan80, tan50, tan60 (ce qui est faisable de plein de façons), je n'ai jamais pu obtenir tan30.

Il est facile de passer à côté de la solution je pense.

par **alben** » 23 Mai 2007, 04:05

Oui, je crois que l'on a tendance à tourner en rond et que ça vient du fait que l'on veut conserver tg30 au lieu de l'éliminer.
En posant, pour simplifier l'écriture
a=tg80 b=tg50 c= tg30 et X l'argument de l'arctg, on a les relations

tg30=tg(80-50)
et

tg80=tg(40x2) et tg40=1/tg(50)
En éliminant tg60=1/c de X on obtient :

puis en éliminant a il reste après quelques simplifications :

le dénominateur se factorise par b²+1 et il reste :

Et il est un peu tard, on doit pouvoir faire apparaître la tg de 3 fois 50

par **alben** » 23 Mai 2007, 10:51

Bonjour,
De fait c'est plutôt tg(4x50)=tg20 qui apparaît :

PS en tranformant autrement et en posant 50°=x j'arrive à

par **alben** » 23 Mai 2007, 17:20

C'est toujours après avoir fait des choses très compliquées qu'on arrive à une solution simple :id:

En reprenant les notations :
a=tg80 b=tg50 d= tg60 et X l'argument de l'arctg, on utilise :
(1)

car tg50=tg(80-30) et tg30=1/tg60
(2)

car tg(80x3)=tg(60)
ainsi que d²=3

et en remplaçant b par sa valeur (1):

car d²=3
au dénominateur, on peut remplacer

issue de la relation (2)
cela donne

et voilà :zen:

par **yos** » 23 Mai 2007, 17:52

Bravo Alben (j'ai pas vérifié tout mais j'ai confiance). C'est pas follement simple en tout cas.

par **alben** » 23 Mai 2007, 22:38

yos a écrit:Bravo Alben (j'ai pas vérifié tout mais j'ai confiance). C'est pas follement simple en tout cas.

Non, c'est pas très compliqué : il ne faut pas tenir compte de mes messages #7 et 8, tout est dans le 9 et ça tient en 5 lignes

par **Pythales** » 23 Mai 2007, 23:05

Bravo Alben, et merci.

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