Intégrale récalcitrante

[Pythales]

Bonjour

Montrer que :



(je n'ai pas la solution)

[zygomatique]

salut

un premier pas ::

arctan(x) + arctan(1/x) = pi/2

[Ben314]

J'ai pas trop d'idée, mais il me semble intéressant de noter que la dérivée de n'est pas anodine...

[DamX]

hello,

en effet la dérivée de la fonction intérieure donne mais je n'ai pas vu comment réutiliser ça.

Rien à voir, et je ne sais pas si ça fait avancer le schmilblick, mais on peut regrouper tout en un seul terme, ce qui permet de voir plus facilement que l'intégrale converge en 0, mais ça complique le terme intérieur..



Damien

[chan79]

je ne sais pas si ça peut servir

[BiancoAngelo]

hello,

en effet la dérivée de la fonction intérieure donne mais je n'ai pas vu comment réutiliser ça.

Rien à voir, et je ne sais pas si ça fait avancer le schmilblick, mais on peut regrouper tout en un seul terme, ce qui permet de voir plus facilement que l'intégrale converge en 0, mais ça complique le terme intérieur..



Damien

Ca me fait penser à un truc lointain que j'avais essayé en classe.

On travaillait les fonctions réciproques, et on trouvant la dérivée d'Arctan(x), je me suis dit, pourquoi pas décomposer en éléments simples.

Ca nous amène sur le terrain des logarithmes... complexes.
Je sais, pas la peine de s'affoler, c'est un truc "moyen" à cause de tout ce que ça implique.

Sauf que, si on regarde bien, on voit justement le lien étroit entre l'Arctan et le log de (1+x)/(1-x).

En particulier, on pourrait se permettre d'écrire, modulo des trucs :

Arctan(x/i) = i/2 ln ((1+x)/(1-x)) qui fait bien coïncider les valeurs en x = 0.

Et après, je vous laisser gérer l'intégration.

Tout ça est écrit en connaissance de cause, il y a beaucoup de bazar derrière tout ça, mais je suis sûr que ce n'est pas anodin vu l'intégrale demandée.

[Pythales]

Pas de nouvelles idées ?

[Ben314]

Non, toujours pas...
Perso, le truc que j'ai essayé, c'est de regarder I comme la partie réelle (ou imaginaire) d'une intégrale curviligne sur C, mais je n'arrive pas à trouver le lacet et la fonction f...