Connexité, definition

[SergeM]

En cherchant la définition de la connexité sur Wikipédia je trouve.

Soit un espace topologique E. Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

i)E n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints ;
ii)E n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ;
iii)Toute application continue f:E ->{0,1} est constante.

Dans le cas où ces conditions sont remplies on dit que l'espace E est connexe.

Mais je n'arrive pas a voir quelle union de deux ouverts disjoint pourait constituer [0,1] U ]2,3[. Par ailleur quand j'arrve au niveau du passage qui explique pourquoi les intervales sont les seuls connexe de R je peut lire:

Considérons maintenant un ensemble A non vide qui ne soit pas un intervalle. il existe donc un élément a tel qu'il existe dans A au moins un élément plus petit et un élément plus grand que a. Alors ]-inf, a[ et ]a, +inf[ forment une partition en deux ouverts disjoints.

Je vois pas le rapport, en quoi le fait que ]-inf, a[ U ]a, +inf[ ne soit pas connexe me renseigne sur la non-connexité de A. :triste:

[legeniedesalpages]

Bonjour,

Mais je n'arrive pas a voir quelle union de deux ouverts disjoint pourait constituer [0,1] U ]2,3[.

Tu peux prendre les ouverts [0,1] et ]2,3[, ils forment bien une partition de [0,1] U ]2,3[.

Attention à ne pas tomber dans le piège de considérer [0,1] U ]2,3[ comme une partie de l'espace IR, ici [0,1] U ]2,3[ est vu en tant qu'espace topologique ie muni de la topologie induite de celle de IR (usuelle), donc pas de souci pour voir [0,1] comme la trace de l'ouvert réel ]-5,1.5[ (par exemple) donc ouvert dans l'espace [0,1] U ]2,3[, et cet espace est donc bien non connexe.

Je vois pas le rapport, en quoi le fait que ]-inf, a[ U ]a, +inf[ ne soit pas connexe me renseigne sur la non-connexité de A. :triste:

Ce n'est pas ce qui est dit, et je crois qu'il faut préciser que a n'est pas dans A.

et sont des ouverts de A (car et sont des ouverts de IR), et ils sont de plus disjoints, donc A ne peut être connexe.

[SergeM]

Entendu c'est ma définition d'ouvert et de fermé de E qui n'allais pas.

Au passage ça me permet de réaliser que je croyais que E et l'ensemble vide était les deux seuls éléments à la fois ouverts et fermés de E mais que c'est faux (dans le cas d'espaces non conexe justement) (on a du me dire ça pour R et j'ai extrapolé).

Merci à toi.

[legeniedesalpages]

Entendu c'est ma définition d'ouvert et de fermé de E qui n'allais pas.

Au passage ça me permet de réaliser que je croyais que E et l'ensemble vide était les deux seuls éléments à la fois ouverts et fermés de E mais que c'est faux (dans le cas d'espaces non conexe justement) (on a du me dire ça pour R et j'ai extrapolé).

Merci à toi.

oui les espaces non connexes ont d'autres parties à la fois ouvertes et fermées, tu peux considérer un ensemble X muni de la topologie discrète par exemple (l'exemple extrême) toutes les parties de X sont à la fois ouvertes et fermées pour cette topologie.

Sinon il y a une autre bizarrerie qui est conséquence de celle-ci pour les espaces non connexes, il y a d'autres parties que E et l'ensemble vide qui ont une frontière vide.

[Cyril Mar]

Bonjour !

Permettez-moi de rajouter quelques généralités.

Si on réfléchit sur la droite réelle, la notion de connexité est assez intuitive.

Pour des espaces à une dimension, la notion de connexité correspond plutôt bien, de manière générale, à la notion de continuité, du moins dans la définition naïve de cette dernière, à savoir que "le continu correspond au fait de ne jamais lever le crayon de la feuille". Si tu choisis de réfléchir sur une partie A de R (droite réelle) qui est un intervalle et que tu décides ensuite de retirer un point à A. Par exemple, ayant choisi l'intervalle ]1, 3], tu décides de retirer le point 2. Ton espace à la fin ne sera plus connexe. Il s'écrira ]1, 2[ U ]2, 3]. Intuitivement, on voit que tu as coupé ton intervalle : par conséquent, il n'est plus continu.

Pour ce qui est de la partie [0, 1] U ]2, 3[ de R, certes [0, 1] et ]2, 3[ sont connexes mais [0, 1] U ]2, 3[ ne l'est pas. C'est comme si on choisissait de réfléchir sur l'intervalle [0, 3[ auquel on décidait de retirer tous les points de ]1, 2]. La coupure est béante.

Enfin, cette intuition de la connexité que je viens d'exposer ne fonctionne plus aussi bien pour des espaces plus grands. Déjà, pour un espace à deux dimensions, la notion de coupure devient rudement complexe. Là où on n'avait besoin que d'un point, il faut quelque chose de beaucoup plus subtil. Si tu choisis de réfléchir par exemple sur un disque (R²), il faut même plus qu'un trou pour qu'il ne soit plus connexe. Une sphère, on le conçoit assez facilement, est connexe. Un tore est connexe. Pourtant, pour passer d'une sphère à un tore, il faut trouer la sphère. Pour qu'un disque ne soit plus connexe, je te laisse deviner quelle sorte de coupures il faut effectuer.

[Dyo]

D'une manière générale, dans un ev normé, on a: connexe connexe par arcs.

Ce qui signifie que sur par exemple, une partie sera connexe si quand tu prends deux points au hasard, tu peux trouver un chemin continu qui les relie et qui est compris dans cette partie.

C'est la même intuition que sur R.

Après je ne me souviens plus trop pour un exemple d'un ensemble connexe et non connexe par arcs (dans un ev non normé)...

[Cyril Mar]

Après je ne me souviens plus trop pour un exemple d'un ensemble connexe et non connexe par arcs (dans un ev non normé)...

Mais tout espace connexe par arcs est connexe... ou je me trompe.

Pardon, oui, je n'y étais plus...

[legeniedesalpages]

D'une manière générale, dans un ev normé, on a: connexe connexe par arcs.

Ce qui signifie que sur par exemple, une partie sera connexe si quand tu prends deux points au hasard, tu peux trouver un chemin continu qui les relie et qui est compris dans cette partie.

C'est la même intuition que sur R.

Après je ne me souviens plus trop pour un exemple d'un ensemble connexe et non connexe par arcs (dans un ev non normé)...

mais l'adhérence du graphe de sin(1/x) dans IR² est si je me souviens bien le contre-exemple classique de connexe non connexe par arcs et on est dans un ev normé dans ce cas :hein:

[Cyril Mar]

Oui, on considère notamment X = sin(1/x) U {0} X [-1, 1] qui est connexe mais non connexe par arcs.

Sauf que tout espace vectoriel normé est connexe par arcs (et donc connexe). Donc l'exemple précédent ne nous place pas dans un evn.

[legeniedesalpages]

ok, mais comme dyo disait "dans" un evn, je croyais qu'il parlait d'une équivalence au niveau des parties d'un evn, sinon dans wiki ils disent qu'il y a tout de même cette équivalence pour les ouverts d'un evn.

[Cyril Mar]

Je ne comprends pas. De quelle équivalence parles-tu ?

[legeniedesalpages]

Dans cet article: http://fr.wikipedia.org/wiki/Connexe_par_arcs#Lien_avec_la_connexit.C3.A9

Ils disent que tout ouvert connexe d'un espace vectoriel normé est connexe par arcs (et la réciproque est vraie aussi).

[Cyril Mar]

D'accord, j'ai vu. Mais Dyo parlait plutôt d'ev non normé : "Après je ne me souviens plus trop pour un exemple d'un ensemble connexe et non connexe par arcs (dans un ev non normé)..." Alors, quel est le rapport ?

[legeniedesalpages]

D'accord, j'ai vu. Mais Dyo parlait plutôt d'ev non normé : "Après je ne me souviens plus trop pour un exemple d'un ensemble connexe et non connexe par arcs (dans un ev non normé)..." Alors, quel est le rapport ?

Je crois que le quiproquo vient du fait qu'on a pas compris la même chose au niveau du post de Dyo.

Ce que j'ai compris pour ma part, c'est que Dyo disait que dans un ev normé, les parties connexes sont exactement les parties connexes par arcs,
et il rajoute d'ailleurs quand dans une partie est connexe si on peut relier deux points par un chemin continu (pour moi c'est une condition suffisante mais pas nécessaire étant donné le contre-exemple que je connaissais),
et enfin que cette équivalence n'est plus vérifiée dans les ev non normés (et que c'est peut être pour ça qu'il a parlé de contre-exemple pour ce cas).

J'ai entendu dire par ailleurs qu'en prépa, certains profs avaient tendance à définir les connexes d'un ev normé comme des connexes par arcs, donc j'avais un doute tout de même au niveau de cette équivalence (dans un evn, connexe connexe par arcs) et c'est pour ça que j'ai fait part de mes doutes en répondant au post de Dyo.

Mais j'ai peut-être mal interprété ce qu'à dit Dyo :marteau:

[Cyril Mar]

D'accord, moi-même je suis passé un peu vite sur le message de Dyo. Je comprends mieux à présent ton intérêt pour une certaine équivalence. (Dyo : "D'une manière générale, dans un ev normé, on a: connexe connexe par arcs.") :mur:

Oui, je crois qu'il faut retenir (même si nous sommes loin à présent de la question de SergeM, qui ne concernait pas la connexité par arcs) au moins le théorème suivant pour que tout soit clair :

- Tout ouvert de Rn (je suis désolé pour l'écriture) est connexe par arcs si et seulement s'il est connexe. (la fameuse équivalence :ptdr: )

[Dyo]

Oui excusez-moi, j'ai oublié le mot essentiel "ouvert".

Dans un evn, Si A est ouvert alors: A connexe A connexe par arcs.
En particulier dans .

Dans tous les cas on a toujours: A connexe par arcs => A connexe.
Et donc ce que je voulais dire :

Ce qui signifie que sur R^n par exemple, une partie ouverte sera connexe si quand tu prends deux points au hasard, tu peux trouver un chemin continu qui les relie et qui est compris dans cette partie.

Voilà désolé de mes mauvaises formulations

[legeniedesalpages]

le mystère du message de Dyo est donc levé :ptdr:

[Dyo]

le mystère du message de Dyo est donc levé

Lol je poste pas souvent et je n'arrive pas à faire un vrai poste quand je réponds :doh: