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par **nemesis** » 04 Juin 2007, 19:35

bonsoir a tous
est ce qu'il existe une autre definition ,ou bien caracterisation , des espaces simplement connexe autre que celle ,qui dit que un espace est simplement connexe si tout lacet est homotope a un point?
et pouvez vous me donner quelque propriete des espace simplement connexe.
merci d'avance

par **yos** » 04 Juin 2007, 19:58

nemesis a écrit:et pouvez vous me donner quelque propriete des espace simplement connexe.

Un espace compact simplement connexe de dimension 3 est homéomorphe à une sphère.
J'ai découvert une preuve véritablement merveilleuse de ce résultat mais la marge de ce forum est trop étroite pour que je l'écrive.

Bon OK je sors.

par **nemesis** » 04 Juin 2007, 20:04

yos a écrit:Un espace compact simplement connexe de dimension 3 est homéomorphe à une sphère.

ce resultat est vrai ?

par **yos** » 04 Juin 2007, 20:07

C'est la conjecture de Poincaré que Perelman a prouvée il y a un ou deux ans.

par **namfoodle sheppen** » 04 Juin 2007, 20:07

oui mais c'est la démonstration merveilleuse qui pose problème :marteau:

par **fahr451** » 04 Juin 2007, 20:09

comme disait jean claude brialy
merveilleuse conjecture

par **nemesis** » 04 Juin 2007, 20:16

ah maintenant que vous le dites ;c'est lui qui avait refusé la recompense de l'institut clay ( 1 million $ ,je crois ) et la medaille Fields ?

par **quinto** » 05 Juin 2007, 00:35

Qu'appelles-tu espace de dimension 3 ?
Ca n'a pas de sens ici.

La conjecture de Poincaré est un peu plus restrictive que ça, on travaille quand même sur des espaces localement homémorphes à R^3.

par **quinto** » 05 Juin 2007, 00:48

Sinon pour répondre à la question de départ, si tu es en dimension 2 tu as beaucoup de caractérisations possibles.

Les plus courantes pour les domaines de C sont surement les suivantes:

Le complémentaire relativement à la sphère de Riemann est connexe.
L'indice de tout point par rapport à tout lacet du domaine est nul.
Toute fonction harmonique est partie réelle d'une fonction holomorphe.
Toute fonction holomorphe qui ne s'annule pas possède une racine n-ième.
Toute fonction holomorphe qui ne s'annule pas est le log d'une fonction holomorphe.
L'intégrale sur tout lacet du domaine de toute fonction holomorphe est nul.
Toute fonction holomorphe est limite compacte d'une suite de polynômes.
Toute fonction holomorphe possède une primitive holomorphe.
Le domaine est homéomorphe au disque unité.

par **Yipee** » 05 Juin 2007, 11:13

On peut reformuler la definition en disant qu'un espace est simplement connexe si et seulement si son groupe fondamental est trivial.

par **yos** » 05 Juin 2007, 11:22

quinto a écrit:Qu'appelles-tu espace de dimension 3 ?
Ca n'a pas de sens ici.

La conjecture de Poincaré est un peu plus restrictive que ça, on travaille quand même sur des espaces localement homémorphes à R^3.

surface (ou variété) de dimension 3 : à plonger dans un espace de dimension 4.

par **Daniel-Jackson** » 05 Juin 2007, 22:24

Yipee a écrit:On peut reformuler la definition en disant qu'un espace est simplement connexe si et seulement si son groupe fondamental est trivial.

Frimeur :happy2:
ça sent la topologie algébrique .......

Sinon par équivalence , c'est un espace où tous les lacets (y compris les constants) sont hotomopes sutipide je sais :stupid_in

par **Daniel-Jackson** » 05 Juin 2007, 22:33

yos a écrit:Un espace compact simplement connexe de dimension 3 est homéomorphe à une sphère.
J'ai découvert une preuve véritablement merveilleuse de ce résultat mais la marge de ce forum est trop étroite pour que je l'écrive.

Bon OK je sors.

Ah je connaissais pas un théorème de classification en dimension 3 comme celle qui dit que les surfaces compactes connexes sont les sphères et les tores à n "trous" (genre) à homéomorphismes près...

Et qu'en est il dans le cas connexe tout court ?

Et la preuve passe aussi par les triangulations ou bien ?

par **yos** » 05 Juin 2007, 22:51

C'est loin de mes compétences et je n'en connais que ce qu'il y avait dans un article (assez bon) paru dans le magazine La Recherche.
Le cas n=3 était le seul qui résistait mais les autres cas ont été prouvés au cours du 20ème siècle.
Sinon les articles de Perelman sont sur le net (sur arxiv).

par **Daniel-Jackson** » 05 Juin 2007, 23:03

yos a écrit:C'est loin de mes compétences et je n'en connais que ce qu'il y avait dans un article (assez bon) paru dans le magazine La Recherche.
Le cas n=3 était le seul qui résistait mais les autres cas ont été prouvés au cours du 20ème siècle.
Sinon les articles de Perelman sont sur le net (sur arxiv).

Merci pour l'info je vais aller jetter un oeil.
Mais tu me dis que le cas n=3 était le seul qui posait problème ?
Parce que j'avais lu dans le bouquin que j'ai commencé à lire qu'il n'existait plus de gros théorème de classification dasn le genre

Mais c'est vrai en général que la dimension impaire pose problème....

par **BQss** » 06 Juin 2007, 05:44

yos a écrit: mais la marge de ce forum est trop étroite pour que je l'écrive.

.

:++:

par **quinto** » 06 Juin 2007, 16:55

yos a écrit:surface (ou variété) de dimension 3 : à plonger dans un espace de dimension 4.

Pourquoi sépcialement dans un espace de dimension 4 ?

Je ne crois pas que ce soit trivial/vrai qu'un espace de dimension 3 se plonge dans un espace de dimension 4.
En revanche, c'est sur qu'il se plonge dans un espace de dimension 7 (théorème de Withney)

par **yos** » 06 Juin 2007, 19:14

Pour voir une variété de dimension 1 (autre qu'une droite), il faut au minimum se la représenter dans un plan euclidien, mais ça marche pas toujours car il y a des courbes gauches. De même pour une variété de dimension 2 (une surface) : si on veut se la représenter on a besoin d'un espace euclidien de dimension 3 mais c'est pas forcément suffisant. Et ainsi de suite.
Je suis bien d'accord : j'ai été approximatif.

par **Yipee** » 06 Juin 2007, 19:19

quinto a écrit:Pourquoi sépcialement dans un espace de dimension 4 ?

Je ne crois pas que ce soit trivial/vrai qu'un espace de dimension 3 se plonge dans un espace de dimension 4.
En revanche, c'est sur qu'il se plonge dans un espace de dimension 7 (théorème de Withney)

Il me semble (mais c'est loin) qu'une variété lisse de dimension n pouvait se plonger dans un espace de dimension 2n. Me trompe-je ?

par **nemesis** » 06 Juin 2007, 19:40

voici ce que dit wikipedia pour le theoreme de whitney :

toute variété différentielle de dimension m peut être plongée dans l'espace euclidien de dimension 2m.Cette valeur 2m peut bien sûr être diminuée dans certains exemples particuliers, mais pour l'exemple de l'espace projectif réel de dimension m, la constante 2m est optimale

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