Connexité !

[barbu23]

Bonjour :
Définition :
est une espace topologique quelconque.
est connexe si et seulement si une des propriétés suivantes est verifiée :
ne peut s'ecrire comme reunion disjoints de deux ouverts non vides.
ne peut s'écrire comme reunion disjoints de deux fermés non vides.
les seules parties à la fois ouvertes et fermés sont et .
Theorème :
L'image d'un connexe par une application continue est connexe.
Preuve :
connexe.
. ( est continue ).
Soit une partie de qui est à la fois ouverte et fermé.

est ouvert et fermé de qui est connexe.
Donc :
Donc : .
Donc est connexe.
Questions :
Pourquoi ( En fait : est clair )... mais pour , je ne sais pas encore pourquoi .. ! Est ce que vous pouvez m'aider ?!
Merci d'avance !!

[tize]

Bonsoir,
ça parait clair, si x est dans F et z dans f^(-1)({x})={y de A; f(y)=x} alors f(z)=x par définition ! Donc F est inclus dans f(f^(-1)(F)).

[marie-josèphe]

bjr,

F n'est pas seulement un sous-ensemble de l'espace d'arrivée mais une partie de
f(A).

[barbu23]

D'accord, merci beaucoup à vous deux !!

[barbu23]

Bonsoir :
Soir une partie convexe de .
Alors : est connexe.
.
est connexe.
En effet :
Car : .
est continue et est connexe.
Donc :
Ensuite le prof écrit :


est connexe.
Alors , pouvez vous m'expliquer quelle propriété le prof a utilisé ? Tout ce qu'on a étudié en cours.. c'est que la reunion de connexes est connexe que si l'intersection de ses connexes est non vide ! mais l'intersection ici est vide car il n'existe aucun point de qui appartient à tous les segments de .
Merci d'avance de votre aide !!

[barbu23]

Help pls !! :cry:
Merci d'avance !!

[tize]

Bonsoir,
quel est ton problème exactement, c'est ça : ?

[barbu23]

oui, je sais pas comment le prof a conclu qu'à partir de cette reunion que tu viens d'ecrire "tize", que est connexe !!

[tize]

En fait il est plus normal de considérer :

[barbu23]

oui, ça je sais, mais tu peux m'expliquer pourquoi cet ensemble est connexe ?!
Merci d'avance !!

[tize]

pour tout N dans A : est connexe.
donc A est connexe...

[barbu23]

oué, mais c'est pas ça ce qu'il faut avoir , non ?
Il faut que : , pour tout et pas pour fixé .. ! ici ce n'est pas le cas !! :triste:
Il y'a un autre resultat que j'ai trouvé sur wikipedia, mais le prof nous l'a pas enseigné ! c'est que si une suite de connexes tel que : ... alors la reunion des est connexe !! ça peut aider à montrer que est connexe !! Malheureusement, on l'a pas fait en classe !! mais jusqu'à maintenant, j'arrive pas à comprendre la methode du prof !!

[barbu23]

Help pls !! :doh: :cry:
Merci d'avance !!

[legeniedesalpages]

Salut, en reformulant ce que t'as déjà dit Tize,

Si A est non vide, tu considères un point .

Soit la famille des segments contenus dans A et qui contiennent .

1) Vérifier qu'on a bien à l'aide de la définition de la convexité;

2) Vérifier que les éléments de sont connexes (ce qu' a déjà fait ton prof dans sa preuve);

3) Comme les éléments de sont connexes et ont l'élément en commun (donc d'intersection non vide), A est connexe.

[barbu23]

Bonjour "legeniedesalpages" :

1) Vérifier qu'on a bien à l'aide de la définition de la convexité;

c'est ça le problème ? il n'y'a pas : ... tous les segments passe par non , je ne crois pas !!

[barbu23]

Bonjour :
Théorème :
Soit une partie d'un espace topologique telle que : .
Alors est connexe.
Preuve :
Supposons que avec : et fermés de non vides disjoints.
et avec : et deux fermés de .



et sont deux fermés de disjoints.
Puisque est connexe , alors :
ou .
Par exemple :



fermé.

.

et .
Donc est connexe.
Questions :
Comment on est passé de à et .
Merci d'avance !!

[barbu23]

Bonjour :

est une espace topologique connexe si et seulement une de ses conditions et équivalentes :
les seules parties à la fois ouvertes et fermés sont et .
ne peut s'écrire comme réunion disjoints de deux fermés non vides.
Preuve :

Supposons avec : et deux ouverts non vides tel que : .

est à la fois ouvert et fermé.

ou ( contradiction ).
Par conséquent :
ne peut s"écrire comme réunion disjints de deux ouverts non vides .
Questions :
Pourquoi, il y'a contradiction dans la demonstration !! je vois pas encore pourquoi !! :lol2:
Merci d'avance !!

[tize]

Bonjour,
donc et or donc et en particulier .
Mais puisque avec et d'intersection vide alors nécessairement .

[barbu23]

Merci beaucoup "tize" !! :lol2:
Et pour l'autre question : "contradiction" ?
Merci d'avance !!

[tize]

Bonjour :

est une espace topologique si et seulement une de ses conditions et équivalentes :

???? tu n'as pas oublié quelque chose...genre connexe ...

...Supposons avec : et deux ouverts non vides tel que : .

???

ou ( contradiction ).

Il y a contradiction car et sont deux ouverts non vides donc nécessairement mais dans ce cas c'est car or c'est impossible.