Tournoi des villes 1996 équa fonctionnelle

[lapras]

prouver qu'il n'existe pas de fonction f:IR->IR telle que :

Bon courage

[ffpower]

Sans avoir fait les calculs,voila je pense les idees:
1)d abord,en notant g(x)=x²-1996,vérifier que g(g(x))=x possede 2 solutions telles que g(x) soit differents de x,notons les a et b.Pour le vérifier il suffit de faire la division euclidienne de g(g(x))-x par g(x)-x pour obtenir un poly de degré 2 et regarder ses racines.si en fait il n en a pas,ben pas la peine de lire la suite lol
2)La paire (a,b) est alors la seule paire a verifier les 3 propriétés:g(a)=b,g(b)=a et a different de b
3)La paire (f(a),f(b)) vérifie alors aussi ces 3 propriétés:g(f(a))=f(g(a))=f(b),g(f(b))=f(a) de meme,et f(a) different de f(b) car sinon en appliquant f on aurait b=a.
L ensemble {a,b} est donc stable par f
4)En regardant les differents cas possibles sur les valeurs possibles de f(a) et f(b),on obtient a chaque fois une contradiction: si f(a)=a,alors g(a)=a absurde,si f(b)=b,idem,et si f(a)=b et f(b)=a,on obtient g(a)=a et g(b)=b,encore absurde

[lapras]

Exact, l'astuce était donc ici de regarder les points fixes de g et de g°g. :zen:
Bravo !

[mehdi cherif]

une belle sollution aussi , existe dans le poly de P.Bronzeinstein :id: