Anneau boole

[gomaths]

bonjour
voici un exercice qui ma embêté un peu j'espère avoir votre aide
(A,+,×) anneau unitaire tel que pour toute x de A : x^12 = x
1) montrer que pour tt x de A x = -x ( la s'est facile )
2) montrer que x^8 + x^4=0 ( je vois pas ...)
3)montrer que pour toute x de A on a x^2 = x (anneau de boole)
merci

[ffpower]

EDIT:Hola,j étais vraiment fatigué.Passez votre chemin sur ce message svp^^

[Maxmau]

bonjour
voici un exercice qui ma embêté un peu j'espère avoir votre aide
(A,+,×) anneau unitaire tel que pour toute x de A : x^12 = x
1) montrer que pour tt x de A x = -x ( la s'est facile )
2) montrer que x^8 + x^4=0 ( je vois pas ...)
3)montrer que pour toute x de A on a x^2 = x (anneau de boole)
merci

2/ essaie de montrer que
(1-x^8)(1-x^4) = (1-x)^12

3/ x^8 = x^4 entraine x = x^8 puis x^4 = x et x^7 = x ..etc..

[gomaths]

bonsoir
merci Maxmau
j'ai essayé avec tes idées mais ça n'a rien donné

[Maxmau]

bonsoir
merci Maxmau
j'ai essayé avec tes idées mais ça n'a rien donné

N'oublie pas que x =- x cad encore 2x=0
Ainsi 1 - x^8 = (1-x^4)(1+x^4) = (1-x^4)²
de même 1 -x^4 = (1-x²)² et 1-x²=(1-x)²
Donc (1 -x^8)(1-x^4) = (1-x)^12 = 1-x = 1+x
D'autre part en développant directement:
(1 -x^8)(1-x^4) = 1 - x^4 - x^8 + x^12 = 1 + x - x^4 -x^8
Finalemnt: 1 + x - x^4 -x^8 = 1 + x qui implique
x^4 + x^8 =0

[gomaths]

bonjour
merci Maxmau la c'est clair
à bien top

[Karimaths]

bonjour
merci Maxmau la c'est clair
à bien top

Bonsoir,
Je pense que pr la 3eme question: on peut proceder de la sorte: X=-X
X^8-X^4=0 DONC (X^4-X^2)²=0
donc (la meme chose).... (x'²-x)'4=0 puisque O element absorbant pour la deuxieme loi
donc ((x'²-x)'4)=0.0.0=0
donc (x'²x)'12=0 donc x'²-x = 0