Anneau de boole

[Dinozzo13]

Bonjour, pourriez-vous m'aider, je bloque sur mon exercice de maths dès la 1re question, merci d'avance :ptdr: :

Soit un ensemble fini et . Montrer que est un anneau commutatif, et on me demande si il est intègre?

[Timothé Lefebvre]

Salut,

tu sais ce qu'est un anneau commutatif et ce qu'il faut pour qu'il soit intègre ?

[Dinozzo13]

un anneau commutatif oui. intègre j'ai du mal à comprendre, c'est lorsqu'un anneau ne possède aucun diviseur de zéro je crois

[Timothé Lefebvre]

Un anneau commutatif A est intègre si

[Timothé Lefebvre]

As-tu bien compris aussi ce qu'était un anneau de Boole ? Enfin plutôt à quelle condition on qualifie un anneau d'anneau de Boole ?

[Dinozzo13]

merci pour le tuyau :ptdr: . Pour montrer que c'est un anneau commutatif il faut d'abord montrer que est un groupe commutatif ? Puis on démontre quoi avec ? non, je n'ai pas tres bien compris ce qu'était un anneau de Boole.

[Euler911]

Bonsoir,

Un anneau (A,+,*) est dit de Boole si, pour tout élément x de A, x*x=x.

Un anneau (A,+,*) est commutatif si, pour x, y dans A, x*y=y*x

Un anneau (A,+,*) est intègre SSI pour tout élément x, y de A, x*y=0 => x=0 ou y=0.

Pour ton cas,

[Dinozzo13]

Merci :ptdr: pour l'aide, je vais essayer de le finir, merci :happy2:

[Timothé Lefebvre]

Je pense que s'il fait cet exo c'est qu'il connaît son cours, enfin j'espère.

[Dinozzo13]

mais le symbole ne s'applique qu'aux ensembles et aux sous-ensembles donc l'anneau (A,+,) est dit de Boole si, pour tout , .Cet anneau (A,+,) est commutatif si, pour tout , et enfin un anneau (A,+,) est intègre si et seulement si , .

[Euler911]

Tu ne fais que reformuler, tu ne montres rien.

[Dinozzo13]

oui oui je sais, mais c'était juste pour m'assurer que c'était commme ça qu'il fallait le reformuler :ptdr:

[Dinozzo13]

oui mais pourquoi on a remplacé par ?

[Euler911]

Que te dit-on sur ???

[Dinozzo13]

on ne me dis rien dans l'énoncé concernant ce

[Euler911]

Bien, dans ce cas, on suppose que est un anneau.

(+ dénote en général la première loi d'un anneau, ici +=Delta).

Cherche d'abord à prouver qu'on a bien un anneau commutatif.

[Dinozzo13]

Voilà ce que j'ai écrit au brouillon:

donc + est un loi interne dans A.
donc + est associative dans A.
tel que ,(e=0, c'est l'élément neutre de A pour la loi +).
tel que donc tout élément de A admet un symétrique dans A pour la loi +.
Or donc la loi + est commutative donc est un groupe commutatif.
donc est une loi interne dans A.
donc est associative dans A.
De plus, ,, est commutative donc est donc un anneau commutatif.

Qu'en pensez-vous?

[Euler911]

est un groupe commutatif.

Tu ne saurais pas démontrer que (A, Delta) est un groupe puisque tu ne sais rien sur Delta!!! Dans l'énoncé, le fait que (A,Delta) est un groupe commu est admit.

donc est une loi interne dans A.
donc est associative dans A.

Tu ne justifies pas beaucoup il me semble...

De plus, ,, est commutative donc est donc un anneau commutatif.

Idem.

[Dinozzo13]

pourriez-vous me proposer quelque chose de justifié pour m'aider à comprendre mieux mon manque justification :ptdr:, merci d'ores et déjà pour tout l'aide que vous m'avez fournie.

[Euler911]

A est l'ensemble des parties de E. est-ce que l'union de deux parties de E est une partie de E? (autrement dit est-ce que ??? pour tout A1 A2 parties de E)

-> tu te sers de ça pour montrer que \cap est interne.
Pour l'associativité base-toi sur ce qui précède et sert-toi ensuite de la définition de l'union de deux ensemble.

Pour la commutativité, sert-toi de la définition encore une fois.