DM sur anneau de Boole

par **melisse82** » 26 Déc 2009, 14:27

Bonjour je suis en PCSI, pour les vacances de noël notre prof de maths a eu la joie de nous offrir un cadeau: un DM !!! :s
Je suis en train d'essayer de le faire et une question me pose problème :
Soit (E,+,.) un anneau unitaire, on note 0 le neutre pour la loi + et 1 le neutre pour la loi .
On définit la loi de composition interne, quelque soit (a,b) appartient a E², a*b= (alpha)(a+b) + (beta)ab . etudier la commutativité et l'associativité de la loi * . En déduire une condition nécessaire et suffisante sur alpha et beta pour que la loi * soit associative.
Par la suite on pose alpha=beta=1
quel est l'element neutre pour *?

par **Nightmare** » 26 Déc 2009, 14:31

Salut, quelle est la question qui te pose problème? A priori ici rien de compliqué, il faut appliquer bêtement les définitions du cours.

par **melisse82** » 26 Déc 2009, 14:34

Je suis d'accord qu'il ne s'agit que d'appliquer le cours le prboleme est sur la détermination de alpha et beta je trouve alpha=1 mais pas beta c'est la le probleme !
et pour la commutativité est-il suffisant de montrer que a*b=b*a ?

par **Nightmare** » 26 Déc 2009, 14:37

melisse82 a écrit:pour la commutativité est-il suffisant de montrer que a*b=b*a ?

C'est exactement la définition de la commutativité, donc oui, c'est logiquement suffisant...

par **melisse82** » 26 Déc 2009, 14:41

Et pour la détermination de alpha et beta alors? Comment puis-je faire?

par **melisse82** » 26 Déc 2009, 18:35

Quelqu'un serait-t-il capable de m'expliquer comment trouver alpha et beta avec une justification valable !!??

par **Nightmare** » 26 Déc 2009, 18:36

Quelles doivent être les valeurs de alpha et beta pour que a*b-b*a soit nul quels que soient a et b.

par **melisse82** » 26 Déc 2009, 18:43

on a dit avec la commutativité que a*b=b*a donc a*b-b*a est égale à 0 quelque soit alpha et beta mais je ne vois pas tres bien le rapport avec l'associativité ??!

par **Nightmare** » 26 Déc 2009, 18:46

Je te présente mes excuses, je pensais qu'il fallait trouver alpha et beta pour que la loi soit commutative et non pour qu'elle soit assiocative.

Bref, l'idée est la même. Quelles peuvent être les valeurs de alpha et beta pour que a*(b*c)-(a*b)*c=0 quels que soient a, b et c ?

par **melisse82** » 26 Déc 2009, 18:49

ok bin en fait c'est justement la mon probleme c'est que je trouve que alpha doit etre egal a 1 et beta appartenant a R car n'a pas d'influence mais je ne suis pas sure du tout !? :hum:

par **Nightmare** » 26 Déc 2009, 18:51

Je n'ai pas fait les calculs mais le résultat n'est pas aberrant

par **melisse82** » 26 Déc 2009, 18:53

oui c'est sur qu'il n'y a rien d'aberrant c'est juste que par la suite il nous est dit que alpha=beta=1...

par **melisse82** » 26 Déc 2009, 19:16

la question suivante est la loi * est elle distributive par rapport a la loi+ j'ai donc fait a*(b+c) je trouve = a+b+c+a(b+c)=a+b+c+ab+ac puis j'ai fait a*b+a*c et la je trouve =a+b+ab+a+c+ac=2a+b+c+ab+ac
Donc si je ne me trompe * n'est pas distributive par rapport a + ?!

par **melisse82** » 27 Déc 2009, 11:19

pour le neutre j'ai trouvé e=0
A présent, on nous demande de calculer (a+b)(a+b) ce qui donne a²+2ab+b² jusque là ca va puis après avoir trouver cela on nous demande de montrer que pour tout (a,b) appartient a E² , ab=-ba en sachant que quelque soit a appartient a E, a²=a. Je ne vois absolument pas comment arriver au résultat :s !!!
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

par **melisse82** » 27 Déc 2009, 12:59

Tout compte fait j'ai réussi à répondre à cette question en observant d'un peu plus près (a+b)(a+b)
A présent le probleme est qu'il faut montrer que tous les éléments de E ( a l'exception de 0 et 1) sont des diviseurs de l'element 0. ???

par **melisse82** » 27 Déc 2009, 13:48

Il semblerait que personne ne puisse m'aider sur la question précédente !
Peut être que quelqu'un pourrait m'expliquer comment faire une table de loi +, . , et * ???

par **Nightmare** » 27 Déc 2009, 15:07

Salut,

je ne comprends pas, ab=-ba ? Quelle est la loi de composition utilisée ici? Est-ce * ? Bizarre car tu as prouvé qu'elle était commutative ...

Et pour le calcul de (a+b)(a+b) c'est vraiment la loi de multiplication usuelle sur R? Dans ce cas bizarre comme question, n'est-ce pas plutôt (a+b)*(a+b) qu'il faut calculer? Je pense qu'il serait mieux pour faciliter notre compréhension que tu postes l'énoncé tel qu'il t'a été donné :lol3:

par **melisse82** » 27 Déc 2009, 15:32

pour ab=-ba il suffit de dire en fait que (a+b)(a+b)= (a+b)² or a et b appartiennent a E tel que a²=a ainsi (a+b)²=a+b
de plus (a+b)(a+b) = a²+b²+2ab =a+b+2ab (car a²=a et b²=b ) ainsi on en déduit que 2ab=0 et donc ab+ba=0 entraine ab=-ba

Dans la suite du DM il s'agit s'une relation d'ordre:
Dans E, on considère la relation binéaire : a < ou = b équivaut a ab=a
1) montrer que inf ou = est une relation d'ordre sur E
2) Montrer que 0 est le plus petit element de E et que 1 est le plus grand element de E.
j'ai repondu a ces questions mais je bloque sur la suivante !
3) montrer successivement pour tout (a,b,c) appartenant a E^3,
a) ab < ou = a et abb) (c < ou= a et c< ou = b) entraine c < ou = ab
c) a < ou = (a*b) et b < ou = (a*b)
d)(a< ou = c et b< ou = c) entraine (a*b) < ou = c

DM sur anneau de Boole

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