Démontrer que l'anneau de Boole est commutatif.

[Hardtoexplain91]

Bonsoir, je dois démontrer que l'anneau de Boole est commutatif, donc que (A,+,.) avec quelque soit x appartenant à 1, x²=x, est commutatif.

dans ma correction (faite en cours), j'ai:

(x+x)² = x²+x²+x²+x² (pourquoi?)
(x+y)²= x²+y²+xy+yx
on a alors x+x=x+x+x+x car tout élément de A est simplifiable
Et donc x+x=0, et donc vis-à-vis de la première loi, le symétrique de x est x
x+y=x+xy+yx+y
xy+yx = 0

ceci se traduit pas symétrique xy=yx
La symétrie étant unique, cela prouve que xy=yx et que l'anneau de Boole est cmomutative..


Quelqu'un peut m'expliquer svp? (PS: je suis en TS, veuillez ne pas utiliser des termes que je ne connais pas svp)

merci

[uztop]

salut,
ah tu es passé en supérieur maintenant ?
Alors, l'anneau de Boole est tel que x²=x (c'est sa définition)

(x+x)² = x²+x²+x²+x² (pourquoi?)

(x+x)² = (2x)² = 4x²=x²+x²+x²+x² (c'est vrai n'importe où en fait, pas besoin d'un anneau de Boole).

(x+y)²= x²+y²+xy+yx
on a alors x+x=x+x+x+x car tout élément de A est simplifiable

Ca vient simplement de (x+x)² = x²+x²+x²+x² en enlevant les carrés

Et donc x+x=0, et donc vis-à-vis de la première loi, le symétrique de x est x
x+y=x+xy+yx+y
xy+yx = 0

Ca vient de (x+y)²= x²+y²+xy+yx en supprimant les carrés

ceci se traduit pas symétrique xy=yx
La symétrie étant unique, cela prouve que xy=yx et que l'anneau de Boole est cmomutative..

On a montré que
xy+yx = 0
Donc xy=-yx, or comme x=-x pour tout x, ça veut dire que
xy=yx donc que l'anneau de Boole est commutatif

J'espère que c'est clair.
Sinon, tu m'as pas répondu, t'es dans quel lycée? LLG ?

[Hardtoexplain91]

Je vais lire ça tout de suite, histoire de donner un signe de vie ^^

en tout cas, merci uztop. Et oui, jsuis passé au niveau supérieur, vu quc'était pas vraiment approprié

[Hardtoexplain91]

pourquoi avons-nous (x+y)² = x²+yx +xy+y² ?
et pourquoi avons-nous x+x=0?
si nous avons xy+yx=0, j'en déduis qu'on peut dire que y + y = 0 si on a en particulier x=y?

et pourquoi x=-x?

[Hardtoexplain91]

ah oui, PS: y a pas que LLG comme bon lycée :we: :we:

[uztop]

pourquoi avons-nous (x+y)² = x²+yx +xy+y² ?

eh bien si tu développes, c'est ce que tu trouves:
(x+y)(x+y) = x²+yx +xy+y²

et pourquoi avons-nous x+x=0?

on a x+x = x+x+x+x
Donc en simplifiant par x+x => 0 = x+x

si nous avons xy+yx=0, j'en déduis qu'on peut dire que y + y = 0 si on a en particulier x=y?

Tu ne déduis rien du tout pour le moment: tu ne sais pas encore que c'est commutatif (c'est justement ce que tu veux montrer)
Tu peux dire que
xy+yx=0
xy =-yx
Or, comme x=-x, en particulier -yx=yx donc
xy = yx donc c'est bien commutatif

Sinon, je sais bien qu'il n'y a pas que LLG comme bon lycée, mais je suis un ancien élève donc c'était juste par curiosité pour savoir si tu es là bas aussi.

[uztop]

et pourquoi x=-x?

j'avais pas vu ton edit.
Si x+x=0, on a de manière immédiate x=-x

[Hardtoexplain91]

Non, je n'y suis pas ^^, jsuis juste à côté :we:

je vais lire ça tout de suite..

[Hardtoexplain91]

donc, dans le cas général, si on veut montrer que c'est commutatif, faut tjrs que jpense à placer un y ?

[uztop]

oui, quelle est la définition de commutatif ?

[Hardtoexplain91]

x*y=y*x

bonne soirée :)

[uztop]

oui voilà, donc je vois mal comment tu pourrais faire la démo sans introduire de y :we: