Existence de l'interpolation polynôlmiale de lagrange

[bilel59]

Bonjour à tous, préparant mes tipe de 1ere année de prépa sur l'interpolation polynômiale, j'ai décidé de traiter d'abord l'interpolation de lagrange puis l'interpolation de newton, cependant, je ne trouve pas comment démontrer l'existence de l'interpolation de lagrange, pourriez vous m'éclairer :id: Merci d'avance

[Darko]

L'idée de l'interpolation de Lagrange c'est de prendre un nombre fini de points, et de construire un polynome dont la courbe passe par ces points, et non pas d'approcher une fonction. Il se trouve que lorsque ces points sont défini par une fonction et que l'on en prend un grand nombre, on a l'impression que le polynome de Lagrange se raproche de notre fonction (sur in intervalle donné).

Fais une recherche sur le Phénomène de Runge...

[bilel59]

L'idée de l'interpolation de Lagrange c'est de prendre un nombre fini de points, et de construire un polynome dont la courbe passe par ces points, et non pas d'approcher une fonction. Il se trouve que lorsque ces points sont défini par une fonction et que l'on en prend un grand nombre, on a l'impression que le polynome de Lagrange se raproche de notre fonction (sur in intervalle donné).

Fais une recherche sur le Phénomène de Runge...

Merci darko j'ai déja fait ma partie sur le phénomène de runge, en gros j'ai déja tout fini sur lagrange, la seule chose qui me reste c'est de démontrer l'existence

[Joker62]

L'exhibition d'un polynôme ne prouve pas l'existence ?

[bilel59]

L'exhibition d'un polynôme ne prouve pas l'existence ?

Merci Joker62 mais je vois déja le prof me dire "et t'es sur que ça existe, montre le moi alors" :we:

[SimonB]

Merci Joker62 mais je vois déja le prof me dire "et t'es sur que ça existe, montre le moi alors" :we:

C'est bien ce qu'il dit : si tu donnes l'expression générale du polynôme d'interpolation de Lagrange (puis prouve ses propriétés afférentes), personne ne pourra rien te reprocher...

Sans ça, tu peux aussi dire que ça existe en exhibant un isomorphisme entre K^n et K_{n-1}[X]...

[Maxmau]

Interpolation polynomiale – méthode de Lagrange
Problème
Données : x0 , x1 , x2 , xn (n+1) réels (ou complexes) distincts 2 à 2
Et y0 ,y1 ,y2 , ………….., yn (n+1) valeurs (distinctes ou non)
Résultat : Il existe un unique polynôme P de degré <= n tq P(xi) = yi pour i = 0 ,1, …,n
Preuve de l’unicité : 2 polynômes de degré <= n prenant les mêmes valeurs en (n+1) distincts sont identiques
Preuve de l’existence : On introduit les polynômes de Lagrange associés à la suite x0 , x1 , x2 , xn . Ce sont les (n+1) polynômes de degré n : L0 , L1 , L2 , ………..,Ln définis de la manière suivante ; Li(xj) = ;)ij (symbole de Kronecker)
Par exemple L0(X) est le polynôme de degré n prenant la valeur 1 pour X=x0 et admettant comme racines x1 , x2 , ….,xn . Ils sont très faciles à écrire.
Solution : y0L0(X) + y1L1(X) + +ynLn(X) est alors un polynôme de degré <= n prenant en xi la valeur yi.

[bilel59]

ok je vais suivre vos pistes merci à tous