Encadrement avec taylor lagrange

[jerem psud]

Bonjour, j'ai un pb pour encadrer cela:


0,5(x-1)-0,5(x-1)² < arctan(x) - pi/4 < 0,5(x-1)


Je vous explique ce que j'ai fait: j'écris taylor lagrange et je pose b=x et a=1

f(b)= f(a)+(b-a)f'(a) + ((b-a)²/2)*f''(c) , avec c appartient à [a,b]

donc f(x)= pi/4 + 0,5(x-1) + (-2c/(1+c²)²)*((x-1)²/2)

Qd j'encadre "c" apres et que j'utilise les théorèmes de comparaison, je n'obtiens pas l'encadrement demandé. Ou est mon problème???

Merci de vos réponses

[jerem psud]

personne???

[emdro]

Bonjour,

cela me semble fonctionner correctement pour la majoration.

Maintenant, il n'y a aucune raison que la minoration soit obtenue par le développement au même ordre... Pousse un peu plus loin.

[jerem psud]

tu veut dire que je peux majorer au degré 1, et minorer au degré 2?

[emdro]

Et pourquoi pas?

Tu vois bien que le majorant qu'on de demande est de degré 1 et le minorant de degré 2...

[jerem psud]

ok embro, je l'avais remarqué mais je n'osais pas le faire. Merci bcp en tout cas

[emdro]

De manière générale, aSi tu réussis à établir les deux inégalités indépendamment, tu auras ton encadrement.

Ne prends pas tant de précautions avec les maths! :happy2:

[jerem psud]

c'est vrai, mais je voulais en être sur car demain examen et je révisais taylor lagrange. Merci

[emdro]

Bon courage alors pour ton examen. :zen:

[duduche19]

Bonjour, j'ai un pb pour encadrer cela:


0,5(x-1)-0,5(x-1)² < arctan(x) - pi/4 < 0,5(x-1)

Bonsoir,

n'y aurait-il pas une erreur dans l'énoncé ?

Ne serait-ce pas plutôt :
0,5(x-1)-0,25(x-1)² < arctan(x) - pi/4 < 0,5(x-1)

[emdro]

[quote="duduche19"]
Ne serait-ce pas plutôt :
0,5(x-1)-0,25(x-1)² 0
Ce n'est vrai qu'à gauche de 1.

Voilà pourquoi l'énoncé demande:
0,5(x-1)-0,5(x-1)² < arctan(x) - pi/4.
C'est large, mais cela fonctionne des deux côtés! :happy2:

[duduche19]

Mais on n'a pas:
arctan(x) -[ pi/4 + 0,5(x-1)-0,25(x-1)²] > 0
Ce n'est vrai qu'à gauche de 1.

Justement,
Dans le cas présent, f=Arctan(x) est défini sur l'intervalle [1,x]

[emdro]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire. :doh:

[duduche19]

Il s'agit de l'hypothèse de départ. La fonction f est de classe c^n sur [1,x], admettant sur ]1,x[ une dérivée d'ordre n+1.

[emdro]

Le théorème de Taylor-Lagrange subsiste si l'on suppose b

[duduche19]

Dans ce cas, la formule de Taylor Lagrange s'écrit
f(1)=f(x)+(1-x)f'(x)+(1-x)²/2!*f''(x)...

[emdro]

Dans ce cas, la formule de Taylor Lagrange s'écrit
f(1)=f(x)+(1-x)f'(x)+(1-x)²/2!*f''(x)...

Ca, c'est la formule de Taylor Lagrange sur [a,b] avec a=x et b=1.

Je parlais de la formule de Taylor Lagrange avec b<a, c'est-à-dire ici que pour x<1, on a
f(x)=f(1)+(x-1)f'(1)+(x-1)²/2!*f''(1)+(x-1)^3/3!f"'(c) avec c dans ]x,1[.

[duduche19]

Bonjour,

La formule que vous donnez porte sur l'intervalle [1,x]. Je ne crois pas qu'elle marche pour x<1.

[emdro]

Si, elle fonctionne. On n'en parle pas très souvent, mais tu peux adapter sans difficulté la démonstration connue de Taylor Lagrange dans le cas b
La formule de Taylor avec reste intégral, elle aussi, peut être utilisée avec b