Endormorphisme

par **celian** » 28 Fév 2008, 15:37

Bonjour , j'ai un joli petit probleme sur les espaces vectoriels avec 5 questions , j'ai essayé de répondre tant bien que mal , j'aimerais votre aide svp :

Soit F(R,R) le R espace vectoriel des fonctions de R dans R . On considère les 4 éléments de F(R,R) suivants :

f1 x -> e^x
f2 x -> xe^x
f3 x -> e^-x
f4 x -> x^e-x

On pose E = Vect(f1,f2,f3,f4) .

a)Montrer que (f1,f2,f3,f4) est une base de E .

E est de dimension 4 , (f1,f2,f3,f4) se compose de 4 vecteurs , donc il suffit de montrer qu'ils sont indépendants . Soit 4 scalaires a,b,c,d appartenant à R , on a :

a*f1 + b*f2 + c*f3 + d*f4 = 0 . Comme toutes les images sont strictement inférieures ou supérieurs à 0 , a=b=c=d=0 , le systeme est libre et donc (f1,f2,f3,f4) forme bien une base de E .

etes vous d'accord pour cette 1ere question ?

merci

par **XENSECP** » 28 Fév 2008, 15:45

hum je suis pas convaincu car les réels que tu cherche ne sont pas forcément positifs !

revois ta méthode pour montrer que c'est libre : conseil prends des valeurs particulière de x pour avoir un système par exemple ^^

par **barbu23** » 28 Fév 2008, 15:46

oui ! et ceci pour tout x réel et donc particlièrement pour certains valeurs sur x !

par **tize** » 28 Fév 2008, 15:54

Bonjour,

celian a écrit:E est de dimension 4...

Pourquoi cela ? Tu prends les choses à l'envers...(f1,f2,f3,f4) est une famille génératrice de E donc dim(E)<=4 et ensuite si on montre que la famille en question est libre alors on aura montré que dim(E)=4.

celian a écrit:a*f1 + b*f2 + c*f3 + d*f4 = 0 . Comme toutes les images sont strictement inférieures ou supérieurs à 0 , a=b=c=d=0

ce raisonnement est faux pour les raisons qu'à énoncé XENSECP...
Autre méthode regarde la limite en + l'infini par exemple...

par **celian** » 28 Fév 2008, 15:54

je comprends pas pq ma méthode ne marche pas , tu peux m'expliquer ?

en attendant je teste ta méthode et ça me parait bien compliqué , regarde je prends 4 valeurs au hasard de x , x=1 , x=0 ,x=3 , x=ln 2 , ce qui me donne comme systeme :

a(e) + b(e) + c/e + d/e = 0
a + c = 0
ae³ + 3be³ + c/e³ + 3d/e³
2a + 2b(ln2)...

bon courage pour le résoudre , d'ailleurs je vois pas comment le résoudre :hein:

par **XENSECP** » 28 Fév 2008, 15:57

c'est Cramer, c'est bon, prends des valeurs simples !

par **celian** » 28 Fév 2008, 16:02

tize j'avoue que je ne comprends pas ta réponse , déjà pourquoi f1,f2,f3,f4 est une famille génératrice de E , comment peux tu l'affirmer ?

Ensuite , j'ai toujours appris que une famille génératrice composée de n vecteurs formait un espace de n vecteurs , j'ai dû louper quelquechose car je suppose que tu as raison tize mais qu'est ce que j'ai loupé alors ?

par **XENSECP** » 28 Fév 2008, 16:05

Non E est le vect de tes vecteurs donc c'est (f1,f2,f3,f4) génère (engendre) E ;)

par **celian** » 28 Fév 2008, 16:07

je comprends plus rien , si E est un seul vecteur , E est de dimension 1 ...

par **XENSECP** » 28 Fév 2008, 16:09

j'ai pas dit ca !

soit g un élément de E

g=alpha*f1+bêta*f2+gamma*f3+delta*f4

(f1,f2,f3,f4) engendre E ;)

par **celian** » 28 Fév 2008, 16:11

ok xen , mais dans tes réponses apparemment faut connaitre la notion de déterminant pour résoudre ma question , donc je vais de ce pas potasser les déterminants et pas te déranger plus longtemps. néanmoins je comprends absolument pas pq il faut un systele linéaire à 4 equations pour dire si c'est une base ou non...

par **celian** » 28 Fév 2008, 16:39

quelqu'un peut m'expliquer pq il faut un systeme de 4 equations pour prouver que c'est une base car je ne comprends vraiment pas malgré les relectures de mon cours...

par **tize** » 28 Fév 2008, 16:55

E=vect(f1,f2,f3,f4) cela veut dire que ton espace E est égale à l'espace de tous les vecteurs (ici des fonctions) que l'on peut obtenir par combinaison linéaire de f1,f2,f3 et f4 donc évidement (f1,f2,f3,f4) est une famille génératrice de E (par définition de E) mais cela ne veut pas dire que (f1,f2,f3,f4) est une base de E car peut être cette famille n'est pas libre et on peut obtenir E à partir (f1,f2,f3) seulement...
Pour montrer que l'on doit avoir ces quatre vecteurs pour générer E il faut montrer que (f1,f2,f3,f4) est libre on aura alors (f1,f2,f3,f4) génératrice et libre donc est une base (donc dim(E)=4).
Par définition (f1,f2,f3,f4) est libre SSI af1+bf2+cf3+df4=0 => a=b=c=d=0.
Tu peux montrer très rapidement que les coefficients sont nuls avec la méthode que je t'ai indiquée plus tôt : regarde la limite de 0=af1+bf2+cf3+df4 en + l'infini (factorise...que faut il pour que la limite soit égale à 0)...

par **celian** » 28 Fév 2008, 17:07

tize ton explication est très claire et je me sens déjà mieux , mais ya 2 trucs intéressants et faut que je fasse un choix :

1. ta méthode en + l'infini que je n'ai jamais vu et qui n'a aucun rapport avec un systeme d'equations , mais je n'arrive pas à faire faire car tu me dit de factoriser , donc :

e^x (1+x) + e^-x (1+x) , cette expression tend vers + l'infini quand x tend vers l'infini et donc les coefficients sont censés tendre vers 0 pour que ça fasse 0 , mais où tu les places les coeff après avoir factorisé ? et aussi on aura 0*infini ce qui est indéterminé , donc je comprends mal ta méthode .

2. il parait qu'il faut un systeme de 4 equations avec un calcul de déterminant ?
pourquoi un systeme de 4 equations...je me pose la question depuis des heures , si tu as une réponse...

par **tize** » 28 Fév 2008, 17:27

Pour répondre à la deuxième question :
si tu revois ton deuxième message tu à un système de 4 équations dont les inconnues sont a,b,c, et d, pour le résoudre il faut calculer le déterminant (système de Cramer ).
Pour la première question :

donc :

en plus l'infini le membre de droite tend vers 0 donc nécessairement a=b=0 sinon le membre de gauche ne tend pas vers 0. Puis on montre que c=d=0

par **barbu23** » 28 Fév 2008, 17:34

viens nous aider "tize" ( topic : topologie cours )
Merci infiniment !

par **celian** » 28 Fév 2008, 17:35

je trouve que ta méthode est bien mais ma foie c'est quasiment ce que j'ai écrit au 1er message je trouve , pour le systeme de cramer ici c'est assez chaud car j'ai une matrice 4*4 et calculer tous les déterminants j'en ai pour 3 semaines , c'est un peu lourd tu trouves pas ? :happy2:

en tout cas merci pour ta patience et tes explications

par **barbu23** » 28 Fév 2008, 17:44

Il a pris la fuite ! :lol2:

par **celian** » 28 Fév 2008, 18:27

pour essayer de le résoudre avec un systeme linéaire , je choisis comme valeurs 0,1,-1,ln1 et j'obtiens ce systeme :

ae + be + c/e + d/e = 0
a + c = 0
a + c = 0
a/e - b/e + ce - de = 0

ae + be + c/e + d/e = 0
a + c = 0
a/e - b/e + ce - de = 0

c'est difficile à résoudre , pourtant j'ai choisi des valeurs simples :hum:

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