Endormorphisme unipotent/nilpotent

[Anonyme]

Comment demontrer que la somme de deux endomorphisme nilpotent est un endormorphisme nilpotent et que V1=ID+u1,V2=ID+u2(V1 et V2 sont des endomorphisme unipotent qui commutent) alors u1 et v1 commutent et v1v2 unipotent(v1v2 est la compose de v1v2).

[yos]

first : c'est faux s'ils ne commutent pas. Exemple: (0 0 //1 0) et (0 1 // 00)
sont nilpotents et leur somme inversible.
S'ils commutent, (u+v)^(n+m) se développe avec la formule du binôme et chaque terme aura u^n ou v^m en facteur ce qui les annulera si on choisit pour n et m les indices de nilpotence de u et v.

second : c'est koi déjà unipotent??? Tu n'as pas échangé les rôles de u et U ,v et V ? C'est d'ailleurs secondaire.

[Anonyme]

si tu as raison il faut qu'il commutent mais j'ai pas compris ce que tu as dit tu peux reespliquer et un endomorphisme unipotent est de la forme v=ID+u,avec u un endomorphisme nilpotent.

[yos]

1) uv=vu donc (u+v)^(n+m) est la somme des C(n+m,k)(u^k)(v^(n+m-k)) où l'entier k varie de 0 à n+m (formule du binôme de Newton).
On choisit n et m tels que u^n=0 et v^m=0.
Dans la somme précédente, chaque terme est égal à 0 car
-si k>=n, alorsu^k=0.
-Si km, donc v^(n+m-k) =0.
Donc u+v est nilpotent.

2)Comme je le disais, tes notations déconnent. Mais je crois avoir rétablis les choses.
Tu écris V1V2=V2V1, tu remplaces V1 et V2 par Id +u1 et Id+u2, tu développes les deux membres, tu simplifies car il y a des termes identiques des deux côtés du = , et miracle, il reste u1u2=u2u1.
Pour l'unipotence de V1V2, tu trouves V1V2=Id+u1+u2+u1u2 et l'endomorphisme u1+u2+u1u2 est nilpotent d'après la question1.

[Anonyme]

1)Pour l'unipotence de V1V2, tu trouves V1V2=Id+u1+u2+u1u2 et l'endomorphisme u1+u2+u1u2 est nilpotent d'après la question1.

mais que v1v2 unipotent c'est ce que l'on dois demonter er non pas ce qu'on sais

[yos]

C'est bien ce que j'ai fait! J'ai écrit réussi à écrire V1V2 sous la forme Id +u avec u nilpotent. Donc V1V2 est unipotent.