Endormorphisme et valeurs propres

[les TPEistes]

Bonjour et bon dimanche à tous!

Je ne suis pas certain de mon début pour un exercice, donc je bloque pour la suite. Avec votre aide j'espère que tout se mettra en place !

Soit f l'endomorphisme de K_3[X] dans lui même tel que :

Pour tout P de K_3[X], f(P) = 6P'(0)X^3 + 3P"(0)X² + 6P(0)X + P^(3)(0)

Tout d'abord :

Donner sa matrice B dans la base canonique de K_3[X].

la base canonique c'est (1, X, X², X^3). Donc j'ai essayé de calculer les images mais je ne suis pas certain de moi...
J'ai trouvé :
f(1) = 6X
f(X) = 6X^3
f(X²) = 6X²
f(X^3) = 6

Pouvez vous confirmer ? merci.

[XENSECP]

Ouais c'est bon ça mais faut écrire la matrice maintenant ^^ c'est ça qu'il importe :P

[les TPEistes]

Bonjour Xensecp,

oui tout à fait, tu as raison :

(0 0 0 6)
(6 0 0 0)
(0 0 6 0)
(0 6 0 0)

Je vais essayer de continuer l'exercice ; je reviendrai si j'ai un souci ;)

Merci encore !

[XENSECP]

Ta matrice est bonne ;) Et elle est marrante en + :D

[les TPEistes]

Hmmm, j'ai du mal à trouver les valeurs propres...

Dans R j'ai trouvé qu'il n'y avait que 6 ;
Dans C j'ai trouvé qu'il y avait 6, et après peut-être 3 +/- i27^(1/2) ?

[XENSECP]

Lol tu as fait le polynome caractéristique ?

[les TPEistes]

euhh peut-être : je suis arrivé à k^3 = 216, i.e. (k - 6)(k² + 6k + 36) = 0

[XENSECP]

Le polynome caractéristique est de degré 4 donc c'est plutot :



Donc 6 vp double dans R
Et sinon bah tu as 2 vp en + mais qui sont complexes

[gdlrdc]

est-ce que tu trouve P(X) = (6-X)(X^3+6^3) ?

[les TPEistes]

D'accord, ben justement pour les deux racines complexes j'ai trouvé :
3 + i rac(27)
3 - i rac(27)

[les TPEistes]

bonjour gdlrdc,

non je n'arrive pas à ça...

[XENSECP]

bonjour gdlrdc,

non je n'arrive pas à ça...

Ma réponse est correcte lol, c'est juste que j'ai factorisé par (k-6) parce que 6 est une racine évidente de x^3-6^3

[les TPEistes]

D'accord, tu peux confirmer pour mes valeurs propres ?

[XENSECP]

D'accord, tu peux confirmer pour mes valeurs propres ?

Lol non je suis pas d'accord

[les TPEistes]

Delta = b² - 4ac = 36 - 144 = - 108

rac(Delta) = i rac(108) = 2 i rac (27)

racines : [6 +/- 2 i rac (27)]/2 = 3 +/- i rac (27)

J'ai fait comme ça mais j'ai dû me tromper... :triste:

[XENSECP]

Tu as bien : à résoudre ?

[les TPEistes]

Oui c'est ça ^^

[XENSECP]

Bah alors :



Et tu conclus

[les TPEistes]

Ok c'est pareil ; donc mes valeurs propres dans C sont :
6, -3 + 3 i rac3, - 3 - 3 i rac3 ?
0 en est une aussi ?

Merci de ton aide en tout cas !

[XENSECP]

6 est racine double, -3+3 i rac(3) et -3-3 i rac(3)

C'est tout.

C'était peut être pareil mais racine(27) perso je connais pas ^^