Endormorphisme et transformations

[goudou]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice qui me pose problème :

On considère l'espace vectoriel U=R3 muni du produit scalaire usuel et f l'endomorphisme de U dont la matrice dans la base canonique est
A = 2 2 1
-2 1 2
1 -2 2

1) Montrer que f est de la forme lamba*g où g est un automorphisme orthogonal et lamba un réel positif
-> ici, on doit trouver une matrice G, représentant l'endomorphisme g, telle que G*G^t=id, et qui vérifie lamba*G=A. J'ai ainsi trouvé lambda=9 et G=A*(1/9).

2)Montrer que g est une rotation
-> cette question me pose problème. Il faut montrer que g appartient à O+(E), donc que det(G)=1. J'ai beau refaire le calcul dans tous les sens, je trouve det(G)=3/81. Je ne pense pas m'être trompée à la question précédente ?!

[Doraki]

Si, lambda il ne vaut pas 9, mais 3.
Recalcule G * G^t pour t'en assurer.

[goudou]

Merci de ta réponse !

Cependant, je ne comprends pas, je dois avoir faux, peux tu m'expliquer où ?
Car si lamba=3, G=(1/3)A ... Jusque là, je pense que c'est correct !
Mais G*G^t ne donne pas l'identité, il donne 3*id !

[Doraki]

Bah chez moi, (2/3)² + (2/3)² + (1/3)², ça fait 1 ...

[goudou]

Merci ! Je ne sais pas ce que j'ai fabriqué dans mes calculs :mur:

Et petite question de vocabulaire, quand on demande de donner la matrice de f dans la base (u,v1,v2), on doit donner

f(u) f(v1) f(v2)
____________ u
____________v1
____________v2

ou

f(u) f(v1) f(v2)
____________ e1
____________e2
____________e3 ?

[Doraki]

Merci ! Je ne sais pas ce que j'ai fabriqué dans mes calculs :mur:

J'espère juste que t'es pas parti du principe (faux) que (A/µ)*(A/µ)^t = (A*A^t)/µ.

Ensuite, pourquoi est-ce que quelquechose qui s'appellerait "la matrice de f dans la base (u,v,w)" ferait intevenir des gens totalement étrangers comme (e1,e2,e3) ?

La matrice de f dans la base (u,v,w) est la donnée de f(u),f(v),f(w) en fonction de u,v,w.
Donc c'est ta première proposition.

[goudou]

Non non, je n'ai pas utilisé ce principe faux ! En regardant mes calculs, j'ai compris mon erreur : j'avais pris pour G=A*(1/9), et pour moi (2/9)*(2/9)+(2/9)*(2/9)+(1/9)*(1/9)=4/9+4/9+1/9 ... Alors bien sûr, je retrouvais la matrice identité ...
J'ai refait la même erreur pour G=A*(1/3), et là, évidemment ça ne marchait pas ! C'est vraiment une faute idiote :briques:

Pour ce qui est de la matrice de f dans la base (u,v,w), comme on ne parle que d'une base, je ne savais pas s'il fallait considérer comme seconde base la base canonique, ou reprendre la même (et j'ai préféré le demander :we: )
Du coup, la question revient à : "donner la matrice de f dans les bases (u,v,w) et (u,v,w)" ! Je suppose que l'on dit "dans la base (u,v,w)" pour un souci de rapidité ?!