Valeurs propres d'un endormorphisme

[Frandom94]

Bonjour à tout le monde !

Voilà l'énoncé que je n'arrive pas à résoudre !

Déterminer les valeurs propres de l'endomorphisme de R[X] défini par f(P)=(X^3+X)P'-(3X^2-1)P.

Comme l'espace considéré n'est pas de dimension finie, on ne peut pas passer par la matrice et le polynôme caractéristique et on cherche donc un vecteur P non-nul tel que f(P)=lambda*P.

Comment faire ?

Merci beaucoup d'avance !
Frandom94.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Tu as mangé des mots dans ton énoncé.

Tu peux te poser la question : si est de degré , quel est le degré de ?

[Frandom94]

Bonsoir à toi,

On peut dire que si P est de degré d, alors l'on a : deg(f(P)) inférieur ou égal à d+2. Je ne vois pas comment poursuivre...

[GaBuZoMeu]

Et si est vecteur propre de , que peut-on dire du degré de ?

[Frandom94]

Si P est vecteur propre de f, alors on a f(P)=lambda*P, et donc les degrés sont les mêmes.

Je ne vois pas où tout cela peut nous amener...

[GaBuZoMeu]

P n'est pas valeur propre, mais vecteur propre.

Ensuite, dans ta réponse, il aurait fallu distinguer le cas et le cas .

Je ne vois pas où tout cela peut nous amener...

À la réponse à l'exercice.

Si est vecteur propre de , que peut-on dire du degré de ?
Tu as vu qu'a priori fait grimper le degré de 2. Si le degré de est égal à celui de , ça impose des contraintes qu'il est bon de regarder de plus près.

[Frandom94]

Excuse-moi pour la faute de frappe malheureuse.

Je te suis bien mais je ne vois pas vraiment comment faire surgir lesdites contraintes...

Merci pour ton aide.

[GaBuZoMeu]

Ne reste pas les deux pieds dans le même sabot !
Prends un polynôme et regarde ce qui se passe.

[Frandom94]

Okay je regarde ça et je reviens !

[Frandom94]

Si , alors

Comme P, et donc f(P), sont de degré n, alors on obtient les deux equations suivantes : et , ce qui est absurde... Où est l'erreur ?

[GaBuZoMeu]

Quelle hypothèse fais-tu sur tes coefficients ? Lesquels sont supposés non nuls ? Tous ? Seulement un ?

[Frandom94]

Bien sûr, a_n est non-nul, ce qui garantit n=3. Mais si a_n-1 est aussi non-nul, alors on tombe sur une absurdité, non ?

[GaBuZoMeu]

Mais pourquoi veux-tu obliger à être non nul ?
Où est l'absurdité ?

[Frandom94]

Oui, dis comme ça... Donc n=3 et a_n-1 =0. Voilà qui rend la question plus simple !!

Je finis l'exercice demain !
Merci beaucoup pour tes précieux éclairages !

[tournesol]

Si tu sais résoudre les équa diff linéaires du premier ordre , tu peux reprendre l'exo avec :
les fonctions dérivables de ]0;+infini[ dans R
les fonctions dérivables de [0;+infini[ dans R
les fonctions dérivables de R dans R

[Frandom94]

Je regarderai ! Merci !