Nombres complexes

[nono605]

Bonjour à tous ! Je suis sur un exercice de mathématiques, sur les nombres complexes, et je bloque.

Soient quatre nombres complexes :

Za = Racine de 3 + i
Zb = 1 + i Racine de 3
Zc = -Racine de 3 + i
Zd = 1 - i Racine de 3

1) Montrer que les points A, B, C et D d'affixes respectives Za, Zb, Zc et Zd sont sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer le cercle dans le plan complexe et placer les points A, B, C et D. ==> Là je pense évidemment qu'il faut placer les points, puis tracer le cercle qui va avec, pas compliqué...




2) Calculer | Zc - Zb | et | Zd - Za | . ==> J'ai une piste mais je ne sais pas si c'est correct :

| Zc - Zb | = | (-Racine de 3 + i) - (1 + i Racine de 3)|
| Zc - Zb | = ??? Puis je bloque ...




3) Calculer les affixes des vecteurs AB et CD . Vérifier que :

CD = - ( (Racine de 3) + 2 ) * AB .


Si vous pouviez me venir en aide, ce serait sympa.

Cordialement, Nono605.

[alexisthehustle]

dis nous ta proposition pour la question 2

[alexisthehustle]

il y a juste a continuer normalement

[nono605]

(Désolé pour les "Racine" mais je ne sais pas comment les faire apparaître :hein: ).

Alors :

| Zc - Zb | = | (-Racine de 3 + i) - (1 + i Racine de 3)|
| Zc - Zb | = |((-Racine de 3) - 1)-(i - i Racine de 3)| (Parties réelles et imaginaires entre elles, respectivement).

| Zc - Zb | = | (-2,73) - ? (Puis mon professeur n'aime pas les valeurs approchés :hum:

[alexisthehustle]

attends je vais faire les calculs(sans valeurs rapproches :zen:

[nono605]

Ok merci :++:

[nono605]

On m'a oublié ou bien ? :marteau: Lol

[BenBiz]

Si ça te dérange pas réécrit tout avec V pour exprimer les racines, ça facilitera la lecture, parce que là j'ai du mal....

[nono605]

Ok ok, pas de soucis.

Soient quatre nombres complexes :

Za = V3 + i
Zb = 1 + iV3
Zc = -V3 + i
Zd = 1 - iV3


2) Calculer | Zc - Zb | et | Zd - Za | . ==> J'ai une piste mais je ne sais pas si c'est correct :

| Zc - Zb | = | (-V3 + i) - (1 + iV3)|
| Zc - Zb | = |((-V3) - 1)-(i - iV3)| (Parties réelles et imaginaires entre elles, respectivement).

| Zc - Zb | = | (-2,73) - ? (Après je ne sais plus, puis mon prof n'aime pas les valeurs approchées...)




3) Calculer les affixes des vecteurs AB et CD . Vérifier que :

CD = - ( V3 + 2 ) * AB .

[lfuine]

Salut,

Faut continuer ton calcul sans mettre des valeurs approchées.
De plus tu as fait une erreur de signe |Zc-Zb|=|(-v3-1)+i(1-v3)|
Pour rappel si Z=x+iy alors |z|=v(x²+y²) avec cette formule tu devrai trouver |Zc-Zb|=2v2

[nono605]

Ah oui autant pour moi.

Oui pour la formule, mais là je suis bloquer ici |Zc-Zb|=|(-v3-1)+i(1-v3)|.

Comment continuer sans valeurs approchées ?

Je saurais continuer après, mais là je peine...

[alexisthehustle]

Salut,

alors , pour la question 1, tu places tes points(pour te donner une idée de là où ils se trouvent géométriquement, et aussi pour déterminer à vue de nez , où se trouve le centre du cercle)
Mais cela ne suffit pas à montrer qu'ils sont sur le même cercle. Il faut notamment montrer que la distance entre chacun des points et le centre (par exemple , celui que tu auras conjecturé sur le dessin) sera la même.

Ensuite question 2,

Il faut bien sur , comme tu l'as fais, remplacer zc et zb par leur valeur. Tu regroupes les parties réelles et les parties imaginaires ensemble (tout ce qui est avec du i d'un coté et le reste de l'autre) puis tu calcules le module.

Question3:

Pour calculer l'affixe d'un vecteur AB, il suffit de soustraire les affixes des extrémités, donc Zab = zb - za

En effet, pour placer ton point A par exemple, tu as utilisé
Za = racine(3) + 1*i , or tu peux aussi déterminer que les coordonnées du point A sont A(racine(3); 1)
Tu fais la même chose avec les autres points , et ainsi , tu pourras déterminer les coordonnées des vecteurs. Mais tu verras que determiner les coordonnées du vecteur revient à faire la soustraction des affixe des points.


Voilà...

[nono605]

Alors, j'ai fais mon petit calcul et je trouve :


|Zc-Zb|= |(-V3-1)+i(1-V3)|.

|Zc-Zb|= V [ (-V3 - 1)² + (1 - V3)² ]

|Zc-Zb|= V [ ((-V3)² + 2*V3*1+1²) + (1² - 2*1*V3 + (*V3)²) ]

|Zc-Zb|= V ( 3 + 2V3 + 1 + 1 -2V3 +3 )

|Zc-Zb|= V (8)

|Zc-Zb|= V (2*4)

|Zc-Zb|= 2V2 Je pense que c'est correct là ??

[nono605]

Est ce exact ??

[nono605]

Et puis pour | Zd - Za | , je trouve :


|Zd-Za|= |(1-V3)+i(-V3-1)|.

|Zd-Za|= V [ (1-V3)² + (-V3-1)² ]

|Zd-Za|= V [ (1²-2*1*V3+(-V3)²) + ((-V3)²+2*V3*1+(-1)²) ]

|Zd-Za|= V ( 1-2V3+3+3+2V3+1 )

|Zd-Za|= V (8)

|Zd-Za|= V (2*4)

|Zd-Za|= 2V2 Est-ce correct ???

[nono605]

Pour la question 3, en suivant ton conseil alexisthehustle, je trouve :

Zab = Zb - Za
Zab = Ab - Aa + i ( Bb - Ba)
Zab = 1 - V3 + i (V3-1)

Je termine comment ??

Et pour :

Zcd = Zd - Zc
Zcd = Ad - Ac + i (Bd - Bc)
Zcd = 1 + V3 + i (-V3 - 1)

[nono605]

:hein: :hein: :hein: