Arithmétique Terminale

[mybabydontcare]

[size=-1]Bonsoir!
Comment résoudre ce système ?
x 3 [5]
[/size][size=-1]x 4 [8][/size]
Merci.

[BenBiz]

Peut etre en passant par la définition des congruences :

x ;) 3[5] <=> x = 5k+3 avec k entier naturel. Si tu remplace cette expression de x dans l'autre congruence, tu aboutis peut etre à quelque chose.

Essayes, je ne suis pas sur de moi, c'est une piste

[mybabydontcare]

re!
ça donne :



système qui me mène à :
je cherche encore...
merci de ton aide

[BenBiz]

Nan, je pense que tu peux pas faire comme ça.

Passe par la définition pour un seul. Tu arrives bien à x=5k+3.

Après, tu remplace x par ceci dans ton autre congruence. Tu as donc :

5k+3 ;) 4 [8] Tu simplifies cette congruence, puis tu repasse par la définition.

[AL-kashi23]

[size=-1]Bonsoir!
Comment résoudre ce système ?
x 3 [5]
[/size][size=-1]x 4 [8][/size]
Merci.

Bonjour, comme dit auparavant exprime x en fonction d'un entier k dans la pemière ligne :

x=5k+3

Remplace dans la seconde ligne :

x;)4[8] 5k+3;)4[8]

5k;)1[8]

Après; trouve l'expression de k ; par exemple, fais un tableau du type :


k;)...[8] : 0 1 2 3 4 5 6 7

5k;)...[8] : .. .. .. .. .. .. .. ..


Je te laisse compléter, regarde pour quelle expression de k, on a 5k;)1[8]

et ensuite exprime x en fonction de cette nouvelle expression de k en fonction d'un entier k'

C'est clair ou pas ??

[mybabydontcare]

Bonsoir!

Jusque là : 5k;)1[8] c'est très clair.
Je ne vois pas ce que tu veux dire par trouve l'expression de k.

[BenBiz]

Moi je suis repassé par la définition, donc 5k=8k'+1, après tu eprimes k en fonction de k', et tu réinjecte cette expression de k dans x= 5k+3

Mais attends l'approbation d'Al-Kashi, il confirmera ou desaprobera ma proposition ^^

[mybabydontcare]

tu réinjectes cette expression de k dans x= 5k+3

ça ne sert absolument à rien, on retrouve x en fonction de k'.

[AL-kashi23]

Je finis avec ma méthode pour voir si ça marche ^^ :

Tu as 5k;)1[8] donc, si tu reprends mon embryon de tableau :

k;)...[8] : 0 1 2 3 4 5 6 7

5k;)...[8] : 0 5 2 7 4 1 6 3

1ère ligne : k peut être congru à 0,1,2,3,4,5,6 ou 7 modulo 8 :

2ème ligne : maintenant les congruences de 5k modulo 8 :

exemple : k;)5[8] <=> 5k;)25[8] <=> 5k;)1[8] ok ?

Donc tu vois bien que pour 5k;)1[8] il faut que :

k;)5[8] donc par définition : k=5+8k' avec k' entier :

réinjecte ça dans x=5k+3...

Tu trouves quoi ?

[mybabydontcare]

RE!
J'ai très bien compris le raisonnement avec le tableau.
Mais tout ce que j'ai trouvé c'est :
En même temps, je me doute bien que x n'est pas unique...

[AL-kashi23]

RE!
J'ai très bien compris le raisonnement avec le tableau.
Mais tout ce que j'ai trouvé c'est :
En même temps, je me doute bien que x n'est pas unique...

T'as du faire une petite erreur de calcul :

on a k=5+8k' et x=5k+3 d'où:

x=5(5+8k')+3

x=40k' + 28

Et ben c'est fini !

Tu as S={40k'+28} avec k entier relatif !

Verifie par exemple avec k'=0,1,2 ....

[mybabydontcare]

J'ai tout compris.
Merci infiniment à vous deux.

[mybabydontcare]

Bonsoir!
En fait, il y avait relativement plus simple : transformer les relations de congruences en équation diophantienne.
Pour le même exemple on a :
x;)3[5]
x;)4[8]
sig qui est une équation diophantienne qu'on peut écrire, sous forme linéaire :
Maintenant, je ne vais pas m'interesser à la résolution d'une telle équation mais à comment transformer un système de congruences plus compliqué en équation diophantienne.
n-2;)0 [n+4]
n-1;)0 [n+1]
Moi, "en passant par la définition", je tombe toujours sur une équation à 3 inconnues au lieu de 2.
Merci de votre aide.

PS : j'ai édité