Principe des tiroirs (Terminale S spé maths, arithmetique)

[Martin78]

Salut tout le monde, cet exo ne fait pas l'objet d'un dm, je ne suis pas pressé et je cherche des pistes...

Indication : Si on veut ranger K+1 objets dans K boîtes au moins, une boite contiendra plus d'un objet

Exercice : Prouver que parmi 10 entiers consecutifs, l'un au moins est premier avec chacun des autres

Alors je sais que tout entier N est premier avec N-1 et N+1, mais cela ne m'aide guère, surtout que N-1 n'est pas premier avec N+1
jai remarqué que pour les 10 premiers entiers naturels, 5,7,1 etaient premiers avec tous les autres. Cela veut donc dire qu'il peut y en avoir plus d'un.
C'est vraiment pas evident de demontrer ça...

[Martin78]

Personne n'a la moindre idée ?

[aviateurpilot]

soit k tel que quelque soit m de {}
(*)

dans ce cas si i apartient à {}

si on prend 10 entiers consecutifs,
il y a au moins 5 entiers premier avec 2
parmi ces 5 entiers il y a au moins 2 premier avec 3
parmi ces 2 entiers il a au moins 1 entiers premier avec 7 et 5 au meme temps

donc parmi 10 consecutifs il y a au moins un entier qui realise (*)
et puisque ce entiers k est premier avec tous les entiers tel que |n-k|=i , i de {}
donc il est premier avec tous ces 10 entiers

[Martin78]

merci pour tout , mais je precise que pour moi les 10 premiers entiers naturels sont 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
je n'aurais pas du compter 0 dans la mesure ou je ne sais pas si 0 est premier avec d'autres nombres...