Exercices pour spécialité terminale S portant sur l'arithmétique

[flo14]

Bonjour a tous, voila je suis un élève de terminale S ayant pris spécialité maths et je dois reconnaitre qu'en se début d'année j'ai du mal avec l'arithmétique.
Notre professeur de spécialité nous a donné quelques exercices d'arithmétiques et plus précisement de divisibilité et je bloque sur deux exercices.
Voici les énoncés des deux exercices:
ex 1.
1.Démontrer
que, pour tout entier n 2puissance(3n-1) est un multiple de 7.
En déduire que 2puissance(3n+1)-2 et 2puissance(3n+2)-4 sont des multiples de 7.
2.Determiner les restes de la division par 7 des puissances de 2
3.le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier Ap=2puissancep+2puissance2p+2puissance3p
a)si p=3, quel est le reste de la division de Ap par 7?
b)Démontrer que si p=3n+1, alors Ap est divisible par 7.
c) Etudier le cas où p=3n+2

Voila donc pour le premier exercice.
Voici le deuxième :
ex 2.
2005=1puissance4+1puissance4+1puissance4+3puissance4+5puissance4+6puissance4

On se propose de démontrer qu'il est impossible de trouver six entiers naturels non nuls n1,n2,n3,n4,n5,n6 distincs ou non tels que 2015=n1puissance4+n2puissance4+n3puissance4+n4puissance4+n5puissance4+n6puissance4
a)Calculer 7puissance4 (j'arrive à le faire). En déduire que chacun des entiers n1,n2,n3,n4,n5,n6 est strictement inférieur à 7.
b) Calculer les restes dans la division par 16 de1puissance4,2puissance4,3puissance4,4puissance4,5puissance4,6puissance4 et de 2015.
c) Conclure.

Voila pour les deux exercices sur lesquels je bloque.
J'attends vos réponses avec impatience et merci d'avance

[Imod]

Ca commence mal , j'ai du mal à imaginer une puissance de 2 qui soit un multiple de 7 .

Imod

[flo14]

désolé mais je ne vois absolument pas où vous voulez en venir :triste: .
Le premier exercice est un exercice de bac de 1999.

[flo14]

j'ai trouvé une réponxse pour l'exo 2 dite moi si c'est juste :
a)7^4=2401 donc comme il faut que n1puissance4+n2puissance4+n3puissance4+n4puis sance4+n5puissance4+n6puissance4=2015 aucun n ne peut être égal à 7 comme 2401>2015 donc les n sont strictement inférieur à 7

B) je trouve que
1^4=0*16+1
2^4=16*1+0
3^4=5*16+1
4^4=16*16+0
5^4=39*16+1
6*4=81*16+0
2015=125*16+15

c)on voit que la somme des restes des n ne ferait jamais 15 donc il est impossible de trouver les 6 entiers naturels.

Qu'en pensez vous?