Dm Repères

[chaosleague2]

Bonjour, voici un exercice que je n'arrive pas a résoudre. Nous n'avons pas encore eu le cours dessus et j'ai cherché dans mon livre mais rien n'indique réellement de pistes ou de méthode a suivre.

Je vous décrit la figure donnée, elle est peu complexe :

On a un carré ADCB de coté x. ABI est un triangle équilatéral (ainsi de coté x également) et I est dans le le carré ADCB.CJB est un autre triangle équilatéral mais J est a l'éxterieur du carré. On me demande de démontrer que D, I, J sont alignés en se plancant dans le repère (A; vecAB, vecAD)

Voila, je pense que c'est une histoire de vecteur, que l'on doit finir sur un résultat sous la forum kvecU=vecV mais je n'arrive pas a trouver les égalités pour le démontrer.

Merci d'avance !

Chaosleague2

[Taupin]

Effectivement si tu montre que DI est proportionnel à IJ (en vecteurs) alors tu auras finis... Ou bien tu peux montrer qu'ils appartiennent à une même droite mais c'est kiff kiff ! Bien tu pose ton repère (qu'il te donne) et dans un premier temps, exprime les coordonnées de tous les points du problème dans ce repère, ensuite poste les nous ici ;)

[chaosleague2]

Eh bien je crois avoir tout dit. On ne connait aucune coordonnées des points que j'ai donné. C'est pour cela que j'ai pensé sue c'était une histoire de vecteurs. Je pensais trouver vecDI=x vecDJ

(je pose que des vecteurs)

DI = DA + AI
DI = DA + AB + BI
DI = DA + AB + ...

DJ = DC + CJ
DJ = AB + CB + BJ
DJ = AB + DA + ...
afin de trouver une réponse avec les vecteurs AD et AB, mais je n'y arrive pas, peut etre y a t'il une autre méthode, comme chercher les coordonnées des points grace aux vecteurs mais dans ce cas, je ne vois pas comment faire étant donné que nous ne l'avons pas vu en cours...

[tito]

bonjour, une autre proposition pour résoudre ton probléme...., en considérant les angles ! en effet si tu montre que l'angle (DIJ) fait 180° s'est gagné, en plus c'est pas trés difficile il suffit que tu remarque que les triangles équilatéraux ont 3 angles de 60° et que le triangle AID est isocéle (ce qui implique que :l'angle (ADI) = l'angle (DIA)), et en utilisant le fait que la somme des angles d'un triangle fait 180° la réponse apparait trés vite :happy2:

[chaosleague2]

Oui ça a l'air d'être une solution ! En effet ca ne parait donc pas tres compliqué, le seul ennui c'est que je vais foutre l'exo du prof par terre :zen: car la on est en plein dans les repères/vecteurs ...

[tito]

bonjour, si tu veux résoudre ce probléme dans le répére (A,AB,AD) il te suffit de considérer les coordonées de chaque point dans ce repére :

exemple: A(0,0) ; B(1,0) ; C(1,1) ; D(0,1)

dansce repére les coordonnées du point I sont (1/2 ; V3/2) (V = racine carré)
celles de J (V3/2 + 1 ; 1/2); (pour les obtenir il suffit de te rappeler la mesure de la hauteur d'un triangle équilatéral ou d'utiliser pythagore pour la retrouver)

il te suffit aprés cela de vérifier que les vecteurs DI et DJ sont linéairement dépendant cad : il existe µ tel que : DJ = µ.DI (ici µ=V3 + 2)

bien sur l'ensemble de ces résultats et les calculs doivent étre vérifier ! :++:

A+

[chaosleague2]

Merci Tito,

il suffit de te rappeler la mesure de la hauteur d'un triangle équilatéral

Escuse moi mais je ne me souviens pas avoir vu ca.

Sinon j'ai une réponse a proposer en utilisant les angles, corrigez moi si c'est mal dit ou faux :

"AIB est un triangle isocéle, donc tous ses angles mesurent 60°. DCBA est un carré donc DÂB = 90 ° . On en déduit que DÂI = DÂB - IÂB = 90- 60 = 30°

Le triangle ADI est isocéle car DA = IA, donc (ang)IDA = DÎA = (180-30) / 2 = 75°

CJB est aussi un triangle équilatéral, ses angles sont donc chacun également égaux a 60°. (ang)DCB est égal a 90° car c'est un angle de DCBA. On en conclut :

(ang)DCJ = (ang)DCB + (ang) BCJ
= 90° + 60°
= 150°

Or DCJ est un triangle isocéle puisque DC = CJ
Ainsi : (ang) CDJ = (ang) CJD = (180- (ang) DCJ) / 2 = (180-150)/ 2 = 15°

On sait maintenant que (ang) BCJ = 60° et que (ang) CJD = 15°

On appelle E l'interséction des droites (CB) et (DJ).
Donc : CÊJ = 180 - ( (ang) ECJ + (ang) CJE )
= 180 - 75
= 105°

E est le point d'interséction de (CB) et de (DJ) donc CÊJ = DÊB = 105 °

Enfin BÎE = 180 - (30 + 105)
= 45°

DÎJ = DÎA + AÎB + BÎJ
= 75 + 60 + 45
= 180°

Donc D, I et J sont alignés."

Voila, par contre Tito si tu pouvais m'xpliquer plus en détails ta méthode, cela m'intérésserait, car je pense que c'est ce que la prof cherche a nous faire faire :we: .

Voila et merci encore !

[tito]

bonsoir, oui c'est juste (attention quand méme au début AIB est équilatéral !)

pour la méthode "vectoriel" essaie tout simplement de te remettre dans un repére classique (0,i,j) à la différence que l'origine du repére est A et que les vecteurs de base sont AB et AD; et on cherche à connaitre les coordonées de chaque point dans ce repére. Donc pour chaque point tu fais une projection orthogonale sur " l'axe des abcisses " et tu lis la premiére coordonnées (exemple : pour le point I sa premiére coordonnées est donc celle obtenu en projetant le point I sur la droite de vecteur directeur AB et tu lis 1/2 en effet "tu te retrouves au milieu de AB")puis tu fais de méme pour la deuxiéme coordonnées de chaque point et tu pourras calculer les coordonnées des vecteurs DJ et DI puis conclure.

A+

[chaosleague2]

Merci

Je suis d'accord avec toi pour les coordonnées des points. Le seul problème c'est que je ne vois pas comment tu calcules l'ordonnée de I. Il y a une propriété traitant de la hauteur d'un triangle équilatéral?

[tito]

bonsoir, non juste un calcul qui découle du théoréme de Pythagore
la hauteur d'un triangle équilatéral de côté a a pour mesure: (V3/2)a (V=racine carré)
et donc pour le point I on a dans le repére (A,AB,AD)

AI = (1/2)AB + (V3/2)AD et donc I (1/2 ;V3/2)
(si tu veux t'en convaincre fait un dessin et trace la hauteur cela ce voit facilement).

A+

[chaosleague2]

Ok j'ai compri merci bien !