3 probléme d'un olympiade , troop dur

[fed4ever]

voila des probs que j'ai pas pu les résoudre , je me demander si qqn pourrais me filer un coup de main :
Le 1ér :

Placer à lintérieur de la grille les nombres de 1 à 16 de façon que :
* les nombres rouges soient égaux a la somme des nombre en blanc de la ligne ou de la colonne correspde ligne ou de la colonne correspondente
*deux nombres consécutifs sont toujours placés dans une meme ligne ou dans une meme colonne .
( toute les sollutions possibles sont a proposer )
Le 2éme
Quatres nombres premiers ont pour somme un nombre premier , tous les chiffres nécaissaires à l'écriture de ces cinq nombres sont différents.
Quels sont ces 4 nombres premiers ? ( toute les sollutions possibles sont a proposer )

Le 3éme
Noémie aime jouer avec le nombres .elle joue au jeux suivant .un nombre est écrit . Si ce nombre est pair , elle le divise par 2 et écrit le résultat .si le nombre est impair , elle lui ajoute 9 et divise le nombre obtenu par 2 et écrit le résultat de cette division .Elle recommence la meme opération jusqu'a obtenir le nombre 1 pour la premiére foi .Elle a alors gagné et je jeu s'arrete .
Aujourd'hui le premier nombre écrit par noémie était 2008 .
combien de nombre sont alors écrits ?

et merci d'avance !

[rugby09]

pour remplir le tablau je pence que cet comme ca:


31 33 35 37
50 15 10 10 15

44 10 10 10 14

32 5 10 10 7

10 1 3 5 1

[rugby09]

quelqu'un pourait-il me dire si cet correct?

[Patastronch]

quelqu'un pourait-il me dire si cet correct?

Non, il doit apparaitre tous les nombres de 1 à 16.

Pour le 1/ On sait que les nombre 1 2 3 et 4 sont forcément sur la ligne du 10 c'est deja ca J'ai pas la tete a faire un pseudo sudoku sans programme donc je passe la main a quelqu'un d'autre

Pour le 2/ On est sur que 2 fait parti des 4 nombres premiers initiaux, sinon la somme serait pair.

On a 10 chiffres, moins le 2 pour constituer nos 3 autres premiers ainsi que leur somme.
Le nombre premier somme fait donc 3 chiffres ou 2 chiffres (4 chiffres et 1 chiffres sont evidement impossible)

Si le nombre premier somme possede 2 chiffres alors :
On sait que c'est un grand nombre premier jumaux (et que tous ses chiffres son distinct et different de 2).
Nombres possible :
13 19 43 et 73.
Or :
13 : IMPOSSIBLE (evident)
19 : IMPOSSIBLE (evident)
43 : IMPOSSIBLE (evident car le 2,3 et 4 sont alors interdit)
61 : IMPOSSIBLE (peu de cas a tester)
73 : IMPOSSIBLE (peu de cas a tester)

On sait donc que le nombre premier somme possede 3 chiffres !
On sait que c'est un grand nombre premier jumaux (et que tous ses chiffres son distinct et different de 2).
Nombres possible :
103, 109, 139, 193, 349, 463, 601, 619, 643, 859

1er cas/ Les 3 nombres premiers autres que 2 constituant sa sommes ont moins de 3 chiffres.
Donc le nombre premier somme est inferieur a 300.
Cas possible restant : 103, 109, 139, 193

On voit assez facilement en regardant les valeurs possible des 3 premiers manquant et en gardant bien en tete que chaque chiffre doit etre distinct que :
103 : IMPOSSIBLE
109 : IMPOSSIBLE
139 : IMPOSSIBLE
193 : IMPOSSIBLE


2eme cas/ Un des 3 nombres premiers autres que 2 constituant sa somme possede 3 chiffres. Donc le chiffre des centaine du nombre premier somme ne peut etre le 1 (sinon le nombre premier a 3 chiffre dans sa somme aurait aussi un 1 dans son ecriture).
Cas possible restant : 349, 463, 601, 619, 643, 859

349 : IMPOSSIBLE (evident a cause du 2 et du 3 non réutilisable)
463 : IMPOSSIBLE (evident a cause du 2 et du 3 et du 4 non réutilisable)
859 : IMPOSSIBLE (on s'appercoit facilement que le seul nombre a 3 chiffres qui conviendrait dans la somme est 761 et ca ne colle pas)

Reste 3 cas "difficile" à étudier !

601, 619 et 643.
N'ayant plus d'idée pour simplifier la recherche parmis ces 3 nombres je passe la main a quelqu'un

3/ Pour le 3 je ne vois pas trop la difficulté.

[Thalès]

Pour le deuxième,
La somme de quatres nombres premiers impairs ont comme chiffre des unités : 1 , 3 , 7 et 9, donc la somme donnera un nombre d'unité 0, qui ne sera pas premier,et en prenant le cas du 5, la somme donnera toujours un nombre pair.
Sinon je pense qu'il existe une infinité de solutions avec 2 comme premier nombre premier de la somme.

[Thalès]

Le jeu de Noémie me fait rapeller la conjecture de Syracuse =)
Sinon le nombre de nombres qui seront écrits : 12 (pas sûr :))

[Patastronch]

Le jeu de Noémie me fait rapeller la conjecture de Syracuse =)
Sinon le nombre de nombres qui seront écrits : 12 (pas sûr )

Sauf que la conjecture de syracuse n'est pas strictement monotone. Alors qu'ici, au dessus de 10 on est strictement décroissant.
Les cycles possible s'enumèrent donc facilement :
1/ 9 9 ...
2/ 6 3 6 3 ...
3/ 5 7 8 4 2 1 5 7 8 4 2 1 ...

Toutes autres valeurs (donc >9) mene a une valeur strictement décroissante jusqsu'a rencontré une valeur inferieur ou egale a 9 et donc d'apartenir a un des 3 cycles.
D'ailleur on remarque que la divisibilité par 9 et par 3 sont 2 choses qui ne se perdent pas ou ne se gagne pas au cours des opérations. Donc pour appartenir au 1er cycle il faut etre un multiple de 9, pour appartenir au second un multiple de 3 mais pas multiple de 9, et pour appartenir au dernier cycle il faut pas etre un multiple de 3. Le problème est donc finallement assez simple non ?

Alors que dans la suite de syracuse les cas sont infini si on veut prouver qu'il n'y a qu'un seul cycle par énumération, il est donc impossible de savoir si 4 2 1 est le seul cycle en procédant ainsi et cela du au fait qu'lle n'est pas strictement décroissante à partir d'un certain rang.

Ca y ressemble, mais ca ne joue pas dans la meme cour en réalité !

[Patastronch]

Sinon je pense qu'il existe une infinité de solutions avec 2 comme premier nombre premier de la somme.

Tu me diras comment on peut avoir une infinité de solutions lorsque le nombre de cas est lui meme fini. Je te rappelle qu'il y a une contrainte qui est que les 5 nombres premiers s'ecrivent avec des chiffres tous distinct.

[Thalès]

Mmm...j'ai pas fait attention à cette donnée...

[nodgim]

Pour le 2ème problème, 2+5+7+89=103 semble bien marcher. :id:

[nodgim]

Selon toute apparence, c'est la seule!