Exercice 4 de l'Olympiade de 2013 - Région : Maroc

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes !
Je viens de passer aujourd'hui l'Olympiade de Mathématiques de 2013
L'exercice 1 portait sur les nombres Harshad
L'exercice 2 portait sur la géométrie
L'exercice 3 portait sur l'optimisation
Je demande votre aide pour l'exercice 4 que je n'ai pas totalement résolu, l'énoncé est ainsi :

ABCD est un rectangle
AB=4 et AD=2
I milieu de [AD] et J milieu de [CD]
Trois cercles de rayons R de centres respectif F,E,G sont contenus dans le rectangle (tangents à ses côtés) et son tangents entre eux
Trouver R

[ooo]

Bonjour à tous et à toutes !
Je viens de passer aujourd'hui l'Olympiade de Mathématiques de 2013
L'exercice 1 portait sur les nombres Harshad
L'exercice 2 portait sur la géométrie
L'exercice 3 portait sur l'optimisation
Je demande votre aide pour l'exercice 4 que je n'ai pas totalement résolu, l'énoncé est ainsi :

ABCD est un rectangle
AB=4 et AD=2
I milieu de [AD] et J milieu de [CD]
Trois cercles de rayons R de centres respectif F,E,G sont contenus dans le rectangle (tangents à ses côtés) et son tangents entre eux
Trouver R

[img]c:\data\ggb\trois%20cercles.png[/img]
Bonjour,
c'est mon premier message, j'espere que tout s'affiche.
Les trois cercles sont je pense disposes en V
On a les relations
2R + 4Rcos(a) = 4
2R + 2Rsin(a) = 2

en divisant

2cos(a) = 1 + 2 sin(a)

En elevant au carre et en utilisant sin^2 + cos^2 = 1 on obtient une equation quadratique en sin(a)
8sin(a)^2 + 4sin(a) - 3 = 0

On resoud et en remplacant on trouve R = 6 - 2sqrt(7)

[upium666]

Bonjour et merci à toi, c'est juste !
Cependant, je serais curieux de savoir d'où tu tires

On a les relations
2R + 4Rcos(a) = 4
2R + 2Rsin(a) = 2

Merci !

[ooo]

Bonjour et merci à toi, c'est juste !
Cependant, je serais curieux de savoir d'où tu tires

Merci !

Bonjour,

Desole de ne pas avoir ete capable d'afficher le graphique. Cela aurait facilite les choses. Pour eclairer, le premier cercle est tangent aux deux cotes hauts du rectangle, le second est tangent au premier cercle ainsi qu'au bas du rectangle et le troisieme est symmetrique du premier par rapport a la mediatrice du grand cote du rectangle. Dans les 2 equations, a est l'angle que fait le segment joignant les centres des cercles 1 et 3 avec le segment joignant le centre du cercle 2 avec le centre de 1 ou 3. La longueur du rectangle est donc egale a 2R + 4Rcos(a) et la largeur a 2R + 2Rsin(a).

J'espere que c'est clair.

[Lostounet]

Bonsoir!



En divisant le rectangle, on trouve un carré de coté 2.

Cela se traduit par:
FH = 2 - R - R = 2 - 2R

EH = 2 - R

EF = 2R

D'après le th. de Pythagore !


Attention, 11,.. ne convient pas.

[hammana]

Bonsoir!



En divisant le rectangle, on trouve un carré de coté 2.

Cela se traduit par:
FH = 2 - R - R = 2 - 2R

EH = 2 - R

EF = 2R

D'après le th. de Pythagore !


Attention, 11,.. ne convient pas.

Bonjour Lostounet ... (et les autres)

Je vous invite à donner une construction géométrique du cercle cherché