Problème olympiade géométrie

[arkani]

Bonjour,

Je butte sur le problème suivant.

On donne le cercle inscrit et le cercle circonscrit à une triangle (quelconque), mais pas le triangle en question. Il faut trouver ce triangle en utilisant uniquement une règle et un compas.

Merci d'avance pour toute aide.

[mathelot]

bonjour,
Quelles propriétés vérifie le point I , centre du cercle inscrit à ABC ?
c'est le point d'intersection de quel genre de droites ?

[chan79]

Il suffit de placer un point M quelconque sur le cercle circonscrit et de mener par M les tangentes au cercle inscrit. Elles coupent le cercle circonscrit en N et P.
Le triangle MNP convient.
Evidemment, il faut que les deux cercles soient bien les cercles inscrit et circonscrit d'un triangle (caché).

[arkani]

Il suffit de placer un point M quelconque sur le cercle circonscrit et de mener par M les tangentes au cercle inscrit. Elles coupent le cercle circonscrit en N et P.
Le triangle MNP convient.
Evidemment, il faut que les deux cercles soient bien les cercles inscrit et circonscrit d'un triangle (caché).

Bonjour,

Merci pour cette réponse, mais ce n'est pas correct.
En choisissant le point M au hasard et en déterminant les points N et P comme tu le proposes, la droite NP n'est en général pas tangente au cercle inscrit. Le triangle MNP n'est donc pas le triangle recherché. Toute la difficulté est de trouver le point M sur le cercle circonscrit tel que la droite NP est tangente au cercle inscrit.

[arkani]

bonjour,
Quelles propriétés vérifie le point I , centre du cercle inscrit à ABC ?
c'est le point d'intersection de quel genre de droites ?

Bonjour,

Le centre du cercle inscrit est le point d'intersection des bissectrices du triangle. Autrement dit, en traçant les deux tangentes au cercle inscrit issue d'un point A, la droite AI est la bissectrice de l'angle formé par les deux tangentes. Cependant, en choisissant le point A au hasard sur le cercle circonscrit, les tangentes au cercle inscrit issues de A ne sont pas en général des côtés du triangle recherché (voir ma réponse à Chan79).

[chan79]

Si on trace deux cercles au hasard, évidemment, ça ne va pas marcher.
Ma réponse concerne le cas suivant:
On trace un triangle ABC puis son cercle circonscrit C1 et son cercle inscrit C2. On efface le triangle ABC, ainsi que les points A, B et C. Et on suit la procédure décrite précédemment.

[Imod]

Il faut bien sûr que les deux cercles vérifient la relation d'Euler .

Je crois me souvenir que tous les triangles possibles partagent le même orthocentre .

Imod

[chan79]

Je crois me souvenir que tous les triangles possibles partagent le même orthocentre .

Imod

Il semble que les orthocentres de ces triangles forment un cercle.
Je ne sais pas si c'est simple à démontrer.

[arkani]

Merci pour vos réponses. La relation d'Euler permet en effet de montrer qu'il y a une infinité de solutions. Plus généralement, pour un polygone à N côtés, cela fait partie du théorème de Poncelet.

http://en.wikipedia.org/wiki/Poncelet%27s_closure_theorem