Propriété des fonctions Ln

[pianiste06]

Bonjour,

Je sèche complètement sur un exo trouvé sur un bouquin; tout coup de pouce sera "plus que bienvenu". Mille mercis par avance :

Montrer pour tout réel x et y strictement positif que :
(x+ y)Ln(x + y) >(ou égal) xLn(x) + yLn(y).

Laurent

[raito123]

Bienvenu Laurent,

Il suffisait de poster une seul fois Tiens un lien pour toi .


Raito

[raito123]

Pour ton égalité c'est simple comme truc:

Essaie de montrer que

[lapras]

Salut
oui raito effectivement l'inégalité que tu as donné est équivalente.
Cependant j'ai bien plus simple :
Fixe y et démontre l'inégalité pour tout x en dérivant f(x) = (x+y)ln(x+y) - xln(x) - yln(x)
la fonction dérivée a une expression extrement simple
tu vas obtenir le résultat voulu !

[raito123]

Re Lapras,

Oui y a plusieurs méthodes :++:

[Huppasacee]

plus simple :

ln croissante donc ln (x+y ) > .....
donc

[Huppasacee]

plus simple :

ln croissante donc ln (x+y ) > .....
donc

[raito123]

plus simple :

ln croissante donc ln (x+y ) > .....
donc

Pour aboutir à quoi ???

[Huppasacee]

ln ( x + y ) > ln x
ln (x + y )> ln y

[raito123]

Et ... aprés?

[Huppasacee]

(x+ y)Ln(x + y) >(ou égal) xLn(x) + yLn(y)

ln (x+y)> lnx

x positif
en multipliant par un nombre positif, on ne change pas le sens d'une inégalité
xln(x+y) > xlnx

pour y ......


xln (x+y) +yln(x+y) >=