Propriété des fonctions Ln

par **pianiste06** » 05 Fév 2008, 14:18

Bonjour,

Je sèche complètement sur un exo trouvé sur un bouquin; tout coup de pouce sera "plus que bienvenu". Mille mercis par avance :

Montrer pour tout réel x et y strictement positif que :
(x+ y)Ln(x + y) >(ou égal) xLn(x) + yLn(y).

Laurent

par **raito123** » 05 Fév 2008, 14:22

Bienvenu Laurent,

Il suffisait de poster une seul fois Tiens un lien pour toi .

Raito

par **raito123** » 05 Fév 2008, 14:26

Pour ton égalité c'est simple comme truc:

Essaie de montrer que

par **lapras** » 05 Fév 2008, 14:37

Salut
oui raito effectivement l'inégalité que tu as donné est équivalente.
Cependant j'ai bien plus simple :
Fixe y et démontre l'inégalité pour tout x en dérivant f(x) = (x+y)ln(x+y) - xln(x) - yln(x)
la fonction dérivée a une expression extrement simple
tu vas obtenir le résultat voulu !

par **raito123** » 05 Fév 2008, 14:42

Re Lapras,

Oui y a plusieurs méthodes :++:

par **Huppasacee** » 05 Fév 2008, 14:42

plus simple :

ln croissante donc ln (x+y ) > .....
donc

par **Huppasacee** » 05 Fév 2008, 14:50

plus simple :

ln croissante donc ln (x+y ) > .....
donc

par **raito123** » 05 Fév 2008, 14:56

Huppasacee a écrit:plus simple :

ln croissante donc ln (x+y ) > .....
donc

Pour aboutir à quoi ???

par **Huppasacee** » 05 Fév 2008, 15:03

ln ( x + y ) > ln x
ln (x + y )> ln y

par **raito123** » 05 Fév 2008, 15:35

Et ... aprés?

par **Huppasacee** » 05 Fév 2008, 15:44

(x+ y)Ln(x + y) >(ou égal) xLn(x) + yLn(y)

ln (x+y)> lnx

x positif
en multipliant par un nombre positif, on ne change pas le sens d'une inégalité
xln(x+y) > xlnx

pour y ......

xln (x+y) +yln(x+y) >=

Propriété des fonctions Ln

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