Approximation et limite

[Scal]

bonjour,

je poste parce que j'ai une incompréhension sur le calcul de la limite en 0 de cette fonction :

(exp(x²) (exp(x) - cos(x))(3 + cos(x))) / ((x² + 2x - 1)(2 - 3sin(2x)) log(1 + 3x))

C'est le terme (exp(x)- cos(x)) qui me pose probleme.
En 0 les 2 fonctions sont continues et valent 1 :
Donc on peut obtenir exp(x) - 1 ou 1 - cos(x).
Dans les deux cas on peut approximer respectivement en 0 par x ou x²/2.
Or dans le cas x²/2,le calcul final donne un résultat faux.

J'aimerais donc comprendre pourquoi... Et quelles sont les regles pour pouvoir appliquer une approximation a une fonction.

MERCI !!!

[fatal_error]

Bonjour,

j'imagine que par approximation a une fonction tu sous entend un DL de taylor young.
exp(x)- cos(x) :
Pour exp(x), tu as 1+x+x²/2 +o(x²)
pour cos (x) : 1-x²/2 +o(x²)
Si tu fais la somme tu trouve x +x²+o(x²)
Donc soit tu approximes par x(ordre 1) soit par x+x²

[Scal]

Merci !
Juste une derniere question, si j'approxime un des facteurs a l'ordre 2, est ce que je suis aussi obligé d'approximé tous les autres membres du quotion à l'ordre 2, ou bien est ce que je peux le faire à l'ordre 1 ???

[xyz1975]

Bonsoir,
Si juste pour calculer la limite je réponds par non.
dans votre exemple vous pouvez par exemple approcher exp(x) - cos(x) à l'ordre 2 et log(1 + 3x) à l'ordre 20 vous aboutissez au même résultat.
N'oubliez pas qu'en fait vous n'avez pas besoin d'écrire un DL de exp(x²) ni celui des :3 + cos(x), (x² + 2x - 1), 2 - 3sin(2x) car ces quantités tendent vers des limites finies différentes de zéro.