Petites opérations sur une matrice

[Cestmoikmille]

voilà ! et tu as bien :

A * A^-1 = A^-1 * A =

( 3/2 -1/2 1/2 ) ( 0 1 -1 ) ( 1 0 0 )
( 3/2 -1/2 3/2 )*(-3 4 -3)=(0 1 0 )
( 1/2 -1/2 3/2 ) ( -1 1 0 ) ( 0 0 1 )

edit : je sais c moche mais je savais pas comment faire autrement :girl2:

[georgess]

ok alors dernière question , c'est la 2) du 1er message que j'avais zappé :

En déduire que A est inversible et que A^-1 = 3/2 I - 1/2 A .

VOIR LE 1ER MESSAGE .

Comment en voyant la matrice de départ A et ayant calculer A² et sachant que A² - 3A + 2I = 0 , déduire que A est inversible ?

merci

[Cestmoikmille]

pour déduire que A est inversible, je sais pas, faut que tu regardes les théoremes et propriétés que t'as le droit d'utiliser moi j'ai oublié plein de trucs :)
peut etre simplement calculer le determinant ?

par contre c'est assez simple de montrer
A² - 3A + 2I = 0 => A^-1 = 3/2 I - 1/2 A

A² - 3A = -2I
A² - 3A = -2(A*A^-1)
etc...

[georgess]

comment tu continues ta simplification ?

[georgess]

A^-1 = A²/-2A -3A/2A ce qui donne 3/2I -1/2A , vu que I vaut 1 ou A/A ?

[Cestmoikmille]

I = element neutre des matrices

oui c'est bien comme ca qu'il faut simplifier !! :happy3:

[georgess]

néanmoins je ne comprends pas pq après avoir calculer A² et vérifier que A²-3A+2I = 0 on peut déduire que la matrice est inversible , j'ai aucun théorème qui parle de ce genre de chose...

[Cestmoikmille]

Trouvé sur wikipedia : "une matrice carrée A est inversible il existe un polynôme annulateur de A dont 0 n'est pas racine"
Ca ne me dit rien, mais c'est probablement vrai (un peu la flemme de vérifier)... Donc tu dois pouvoir utiliser ca pour ta démonstration... (si tu l'as dans ton cours c'est mieux !!)
C'est ici !!

Au pire si c'est dans un DM et que tu as besoin de rédiger proprement, tu peux toujours rajouter le calcul du déterminant pour dire qu'elle est bien inversible (afin de pouvoir répondre à la deuxième partie de la question), même si ton théorème est faux (mais ca semble bien etre celui ci à utiliser vu la tête de la question 1)

voilà, j'espère t'avoir été utile ! Bon courage.