Petites opérations sur une matrice

[georgess]

Bonjour , je prends la matrice suivante :

A =

0 1 -1
-3 4 -3
-1 1 0

1) calculer A² et vérifier que A² - 3A + 2I = 0 où I est la matrice identité .

A² =

-2 3 -3
-9 10 -9
-3 3 -2

Après calculs ( que je ne peux pas mettre ici car les matrices c'est la galère pour les écrire ) , A² - 3A + 2I fait bien 0 .

2) je mettrai cette question en dernier ;) .

3)Calculer A^-1 par la méthode de gauss .

Soit X(x,y,z) et Y(a,b,c) 2 éléments de M3,1 (R) .

On a donc le système :

-x + y = c
-3x + 4y - 3z = b
y - z = a

je trouve z = (a-b+3c)/2 , y = 3a/2 - b/2 + 3c , x = 3a/2 -b/2 + 2c et maintenant pour avoir la matrice je fais comment ?

merci de votre aide .

[georgess]

donc la matrice que je trouve est :

3/2 -1/2 2
3/2 -1/2 3
1/2 -1/2 3/2

qu'en pensez vous ?

merci

[Babe]

je me suis gouré en plus lol :we:

[georgess]

quel est le rapport avec ce que j'ai écrit tu m'expliques ?

[georgess]

la matrice que j'ai trouvé est elle juste ?

[Baltha]

Pour vérifier calcul A*A^-1, tu dois trouver l'identité normalement.

[georgess]

ben en faisant la multiplication on voit clairement que ça donne pas la matrice identité pourtant j'ai pas fait d'erreur dans mon système de gauss à ce que je sache ...

[georgess]

ah ben si ça donne bien la matrice identité donc j'avais bon :) , maintenant je reviens à la question 2) qui est :

en déduire que A est inversible et que A^-1 = 3/2I -1/2A

est ce que c'est sous entendu avec les déterminants ?

merci

[Baltha]

A^-1=

[Baltha]

Ah j'ai fait une erreur?

[Narhm]

Tu as réussi à trouver un polynome annulateur P(x) = x²-3x+2 puisque
P(A) = 0 , et si tu regardes bien , tu peux factoriser et faire resortir une matrice tq tu aies AB=Identité, d'ou A est inversible et tu peux facilement le calculer apres ca. ( égale à B ).

Bye

[Baltha]

Je suis persuadé que ta matrice A^-1 est fausse!

[georgess]

baltha , vérifie mon système , il est juste , donc ma matrice est bonne et pourtant elle me donne pas la matrice identité .

[Baltha]

Il doit y avoir une erreur dans ton système, je vais vérifié sa!

[georgess]

la bonen matrice c'est :

3/2 -1/2 2
3/2 -1/2 3
1/2 -1/2 3

[georgess]

j'avais juste fait une erreur de frappe :)

[Baltha]

Voila un petit lien qui peut te servir: http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=P85F1BFFA8.2&+lang=fr&+module=tool%2Flinear%2Fmatrix.fr

[georgess]

ok mais as tu trouvé une erreur dans mon systeme car moi non

[Cestmoikmille]

On a donc le système :

Systeme 1
-x + y = c
-3x + 4y - 3z = b
y - z = a

Systeme 2
je trouve z = (a-b+3c)/2 , y = 3a/2 - b/2 + 3c , x = 3a/2 -b/2 + 2c

si tu recalcules en remplacant dans ton 2eme systeme les a, b, c par la définition que tu en as dans ton 1er systeme (tu me suis ?), on voit que z est juste, mais y ne l'est pas (tu devrais avoir y = (3a - b + 3c)/2 ) et x non plus (j'ai pas calculé ce que ca devrait être, mais reprends tes calculs ton erreur est surement bidon ^^, comme toute erreur de calcul !)



edit : Ceci dit, je n'ai jamais inversé une matrice comme ca, la méthode de Gauss que j'utilise se fait directement sur les matrices, ca revient au même sauf que c'est moins lourd (puisqu'il n'y a pas toutes les variables)
Inverse par la méthode de Gauss

[georgess]

voici mon dernier developpement détaillé :

-x + y = c
y - z = a
-3x + 4y -3z = b

-x+y = c
y - z = a
y - 3z = b - 3c

-x + y = c
y - z = a
-2z = b - 3c - a

donc :

z = a/2 - b/2 + 3c/2

y = 3a/2 - b/2 + 3c/2

x = 3a/2 - b/2 + c/2

et là ya aucune erreur ok?