Opérations sur les suites de Cauchy

[david-math]

Bonjour,

Un et Vn sont tous de Cauchy

J'ai réussi à montrer que Un+Vn, Un-Vn sont aussi de Cauchy
Mais je ne sais pas comment m'y prendre pour UnVn et Un/Vn

Quelqu'un pourrait me donner un coup de pouce?
Merci

[laya]

Bonjour,
Essaye d'utiliser ça :


+ ça : est-ce qu'une suite de Cauchy est bornée ?

+ ça : si la multiplication est pile alors la division est face (avec les précautions qu'il faut prendre quand on divise par quelque chose). Ce sont deux revers de la même médaille. :lol3:

[david-math]

Slt Laya

Euh... je ne vois toujours pas comment faire après Un(Vn-Vp) + Vp(Un-Up) pour la multiplication.
On sait que Un et Vn sont tous de Cauchy donc |Vn-Vp| et |Un-Up| sont tous inférieur à Epsilon. Et ensuite on fait quoi ?

[david-math]

En passant, tu pourrais me dire comment on démontre que toute suite de Cauchy est bornée? :marteau:
PS : Je sais qu'elles convergent vers une limite L d'après la définition et que les premier termes sont tous des termes finis, c'est pour ça qu'elles sont bornée. Mais je pense que ce raisonnement ne vaut pas une démonstration.

Merci bcp

[Nightmare]

Salut,

PS : Je sais qu'elles convergent vers une limite L d'après la définition et que les premier termes sont tous des termes finis, c'est pour ça qu'elles sont bornée. Mais je pense que ce raisonnement ne vaut pas une démonstration.

Attention, les suites de Cauchy ne sont pas forcément convergentes, et je ne comprends pas ce que tu entends par "les premiers termes sont tous des termes finis". Qu'est-ce qu'un terme fini?

Une suite de Cauchy, c'est une suite dont les termes sont aussi proches que l'on veut à partir d'un certain rang. Par exemple, à partir d'un certain rang, tous les termes seront à distance inférieure à 1 les uns des autres. A partir d'un autre rang, tous les termes seront à distance inférieure à 1/2 etc...

On voit bien pourquoi la suite est nécessairement bornée : On se fixe un rang N à partir duquel tous les termes sont à distance inférieure à 1 les uns des autres, alors à partir de ce rang, tous les termes seront nécessairement compris entre et , donc la suite est bornée à partir d'un certain rang, donc bornée sur N tout entier.

[david-math]

Merci Nightmare, j'ai parfaitement compris maintenant.

Attention, les suites de Cauchy ne sont pas forcément convergentes

Normalement les suites de Cauchy sont forcément convergente. ça me parait logique, et en plus on l'a vu en cours.

je ne comprends pas ce que tu entends par "les premiers termes sont tous des termes finis". Qu'est-ce qu'un terme fini?

Je m'explique: par exemple la suite 1/n, pour n dans N.
-disons que le 1er terme est 1
-le second est 1/2
-etc
et cette suite va tendre vers 0.
Donc, comme elle converge (vers 0) et que "les premier termes sont finis" ou alors "les premiers termes ne sont pas infinis", on peut conclure que la suite est bornée.. (C'est en fait un peu comme pour montrer qu'une suite convergente est forcément Bornée - du moins à ma façon - :zen: )

Pour n'importe qu'elle suite, les termes avant la limites (si on regarde la suite comme un graphe 2D) sont tous fini. Donc ci celle-ci converge, elle est forcément bornée.

'fin c'est peu être un peu embrouillé, mais je me retrouve.. JE NE SAIS PAS SI C'EST JUSTE OU NON, MAIS BON.. ça me parait bien en tout cas. :lol3:

Encore merci

[Nightmare]

Normalement les suites de Cauchy sont forcément convergente. ça me parait logique, et en plus on l'a vu en cours.

C'est vrai pour beaucoup d'ensembles (par exemple tous les espaces normés de dimension finie), mais faux pour d'autres.

Exemple simple, la suite 1/n est de Cauchy sur ]0;1[ mais pas convergente.

Un espace dont les suites de Cauchy sont convergentes est dit complet.

Je m'explique: par exemple la suite 1/n, pour n dans N.
-disons que le 1er terme est 1
-le second est 1/2
-etc
et cette suite va tendre vers 0.
Donc, comme elle converge (vers 0) et que "les premier termes sont finis" ou alors "les premiers termes ne sont pas infinis", on peut conclure que la suite est bornée.. (C'est en fait un peu comme pour montrer qu'une suite convergente est forcément Bornée - du moins à ma façon - :zen: )

Pour n'importe qu'elle suite, les termes avant la limites (si on regarde la suite comme un graphe 2D) sont tous fini. Donc ci celle-ci converge, elle est forcément bornée.

Ce n'est pas le fait que les termes soient finis qui nous intéresse (a priori, une suite prend toujours des valeurs finies), mais le fait que ces termes soient en nombre fini !

[david-math]

Ok pour 1)

et Exact pour 2)