Idéaux maximaux

[SimonB]

?? C'est quoi Borel-Lebesgue pour toi ?

"De tout recouvrement d'un compact par une famille d'ouverts on peut extraire un sous-recouvrement fini", oui je sais. Cela dit, on peut en déduire (ce que je te laisse faire ) que, si une intersection en nombre fini quelconque d'un certain nombre de compacts est non vide, l'intersection totale des compacts considérés est également non vide... Caractérisation qui sert ici.

Pour leon1789, j'aime bien aussi ton énoncé, mais il est un peu directif : là, le but était de me faire réfléchir un peu longtemps sur les exercices (il y en avait plusieurs), il s'agissait d'un oral de préparation aux ENS...

[yos]

Comment aurais-tu démontrer les réponses à ces questions ? par l'absurde ?

a et c par l'absurde a priori.
Il est révélateur que tu modifies l'énoncé afin qu'il se plie à des preuves (soi-disant) directes.

[leon1789]

Il est révélateur que tu modifies l'énoncé afin qu'il se plie à des preuves (soi-disant) directes.

Oui, j'aime bien avoir des énoncés (d'exercices, ou plus généralement de propriétés) qui "collent" avec les démos : je pense qu'ainsi on voit (comprend) mieux dans quel sens se déroulent les choses.

Commencer un preuve en disant "Sinon on aurait..." est révelateur que l'énoncé est "à l'envers", non ?

Cela dit, pour une démonstration d'une équivalence A B, ça m'arrive de faire A => B et non A => non B. :we:

[leon1789]

là, le but était de me faire réfléchir un peu longtemps sur les exercices (il y en avait plusieurs), il s'agissait d'un oral de préparation aux ENS...

Ah ok, alors un nouvel énoncé :

1) Conclure !

:we:

[ThSQ]

"De tout recouvrement d'un compact ...
... oral de préparation aux ENS...

Ok, sorry, je comprenais pas ta phrase car Borel-Lebesgue s'applique évidemment au compact.

La notion d'idéal maximal n'est pas officiellement au programme je crois. Ca veut dire que l'examinateur donne la définition avec l'exo ? Ou bien on est censé le savoir pour les ENS ?

Tu nous donnes les autres exos ?

[SimonB]

La notion d'idéal maximal n'est pas officiellement au programme je crois.

Non non, d'ailleurs elle était donnée avec l'exo (c'était mon prof qui me faisait passer l'oral)

Ou bien on est censé le savoir pour les ENS ?

Je ne pense pas que ce soit vraiment très utile, ce genre de choses est forcément redéfini vu le parent pauvre qu'est devenu l'algèbre générale en spé.
Borel-Lebesgue est autrement plus hors programme (il s'agit d'un théorème et non d'une définition !), ... mais pour les ENS, "où personne ne lit jamais le programme", il vaut quand même mieux connaître ça (et plein d'autres résultats d'ailleurs, Dunford-Jordan et autre choses...).

Tu nous donnes les autres exos ?

Tout tournait en fait autour de la notion d'idéal maximal. On demandait d'établir l'équivalence des deux propriétés :
(i)I est maximal,
et (ii)

puis on s'intéressait aux idéaux premiers : on demandait de montrer que tout idéal maximal était premier...

puis on s'intéressait à l'anneau et à deux de ses idéaux : et : on demandait si ces deux idéaux (après avoir vérifié que le deuxième était bien un idéal quand même) étaient premiers, maximaux, ou engendrés par un élément.

[ThSQ]

Merci pour tout Simon.

[leon1789]

(...) puis on s'intéressait à l'anneau et à deux de ses idéaux : et : on demandait si ces deux idéaux (après avoir vérifié que le deuxième était bien un idéal quand même) étaient premiers, maximaux, ou engendrés par un élément.

intéressant !

[yos]

Je travaille dans . Je dois prouver que si f appartient à un idéal maximal I de E, f s'annule en au moins un point de [0,1]. (La suite de l'exercice consiste à prouver que des fonctions (f1, f2, ..., fp) qui appartiennent à un idéal maximal s'annulent en au moins un point commun, puis que les idéaux maximaux de E sont nécessairement de la forme

Petit up pour ce problème pour lequel je pose la question supplémentaire : un idéal premier de E est-il nécessairement maximal?