Valeur propre d'un produit externe

[jean-michel.roger]

Bonjour tout le monde,

voila, j'ai un problème apparemment simple :
soit u un vecteur (colonne de dimension p).

J'ai vérifié numériquement, et analytiquement pour p=2, que l'on a :

u'u est valeur propre de uu'.

Savez vous démontrer ce résultat pour p quelconque? Savez vous si c'est un théorème "classique" ?

PS1 : u' signifie transposé de u, de sorte que u'u est le produit scalaire de u par lui même, et uu' le produit externe.

PS2 : uu', matrice carrée de dimension p, n'a qu'une valeur propre non nulle, puisque de rang 1.

Merci de votre aide

[abcd22]

Bonsoir,
La somme des valeurs propres d'une matrice est égale à sa trace.

[tize]

Bonjour,
le rang vaut 1 donc 0 est valeur propre d'ordre p-1 l'unique valeur propre restante est égale à la somme des éléments de la diagonale qui est égale au produit scalaire...

[yos]

Ou bien, en posant k=u'u :
uu'(u(x))=u(kx)=ku(x) et il suffit de prendre x hors du noyau pour avoir un vecteur propre en la personne de u(x).

[jean-michel.roger]

Merci à tous les deux de votre aide.

J'aime bien la solution de abcd22, qui, si j'ai bien compris emprunte le raisonnement suivant :

une seule valeur propre
donc trace(uu') =
Comme par ailleurs, trace(uu') = = u'u
et que la trace est un invariant,

alors
= u'u

Super !!!

[tize]

...une seule valeur propre

abcd22 n'a pas dit qu'il n'y en avait qu'une (car ça n'est pas le cas...)

[jean-michel.roger]

Au temps pour moi !!!

je voulais dire : il n'y qu'une seule valeur propre non nulle, car :

rang(uu') = rang(u) = 1 (on suppose u non nul, bien sûr).

Voila, j'espère que c'est plus clair, et n'avoir pas trop dit de bêtise non plus...