Valeur propre et vecteur propre,matrice.

[Sabrina351]

Bonjour à vous tous

Je viens parce que j'ai une question concernant des vecteurs propres. car en fait dans un exercice de quantique( matrices, observables...) mais le problème c'est que j'ai un soucis en maths.


En effet j'ai cette matrice : a*(-1 1 1;1 -1 1;1 1 -1).

Et en cours,en écrivant det(A-lambda.I)=0 on a:

le système : (-1-lamba)x+y+z=0
x+(-1-lamba)y+z=0
x+y+z (-1-lamba)=0

et avec comme l'une des valeur propre lambda=-2 on tombe sur ce système:

x+y+z=0
x+y+z=0
x+y+z=0
D'ou x=-y-z

Or en cours on trouve le vecteur propre v1=(0 -1 1)*1/racine(2) , on aurait pu trouver (0 1 -1) aussi non?
Problème,je ne vois pas d'ou vient le (0 -1 1)?

Si quelqu'un pouvait m'aider ça serait sympa.

[pascal16]

le vecteur propre pour une valeur propre n'est pas unique, par exemple les calculettes font le choix en général de vecteurs propres normalisés (de norme 1).

ici, on a, par exemple, avec la calculette "valeur propre -> vecteur propre associé" :
-2 -> (0;1;-1) qu'on divise par √2 pour normaliser
-2 -> (-2;1;1) qu'on divise par √6 pour normaliser
1 -> (1;1;1) qu'on divise par √3 pour normaliser

pour le calcul..... D'où un système équivalent à : x=-y-z

de visu -2 = -(1) -(1) , (-2;1;1) convient <- corrigé
on peut imposer x=0, ça donne y=-z soit (0;1;-1)
dans le premier vecteur x est non nul, dans le second, il l'est, les deux vecteurs sont indépendants

on en tire 2 vecteur libres entre eux : (0;1;-1) et (-2;1;1)

[Pseuda]

Bonjour,

Pour compléter, c'est tout un sous-espace vectoriel (sous-espace propre) qui est associé à une valeur propre ; donc si est un vecteur propre associé à une valeur propre , alors le vecteur l'est aussi quelque soit le scalaire .

[Sabrina351]

le vecteur propre pour une valeur propre n'est pas unique, par exemple les calculettes font le choix en général de vecteurs propres normalisés (de norme 1).

ici, on a, par exemple, avec la calculette :
-2 "0 plutôt non?"-> (0;1;-1) qu'on divise par √2 pour normaliser
.......
pour le calcul..... D'où un système équivalent à : x=-y-z

de visu 2 "-2 plutôt?" = -1 -1 , (-2;1;1) convient.
on peut imposer x=0, ça donne y=-z soit (0;1;-1)
dans le premier vecteur x est non nul, dans le second, il l'est, les deux vecteurs sont indépendants

on en tire 2 vecteur libres entre eux : (0;1;-1) et (-2;1;1)

Salut et merci pour ton aide et merci à Pseuda aussi!

En gros on peu avoir plusieurs vecteurs propres pour une valeur propres,mais une infinité ou c'est un nombre limité?
Je crois que je vois ce que tu as fais,on a ;x+y+z=0 tu choisi donc arbitrairement(par hasard donc) x=2 ce qui implique y=z=-1. Donc 2-1-1=0 ou 2=2.

En gros des que des nombre x,y,z vérifie l'équation x+y+z=0 alors il constituent un vecteur propre (normalisé ).Exemple j'invente x=4,y=-2,z=-2. donc (4,-2,-2).
après j'imagine qu'il faut choisir les vecteurs les plus simples pour les utiliser en mécanique quantique par exemple.

[pascal16]

un vecteur propre est
-> un vecteur qui défini une droite vectorielle
donc peut être
-> tout vecteur non nul de cette droite vectorielle

Des vecteurs avec des coordonnées entières et petites sont bien plus faciles à écrire et à interpréter.
Des vecteurs normalisés facilitent les changements de BOND
Donc souvent l'écriture "1/(norme du vecteur) * vecteur facile" fait tout très bien.

PS sur les logiciels type mathlab, tu as "eigenvect" et "eigenval" pour avoir les vecteurs propres et leur valeur propre associée.