Valeur propre, vecteur propre.

[zoehart]

Bonjour,

J'aurais voulu savoir si l'on pouvait me fournir une définition clair et simple d'une valeur propre et d'un vecteur propre.
J'ai un niveau terminale S en math mais mes études actuelles ( Bac +4 ) en font références.
En gros je n'arrive pas à voir concrètement à quoi ils correspondent ni à quoi ils servent.

Merci de vos réponses.

[Doraki]

Si tu as un endomorphisme f d'un espace vectoriel E de dimension finie (une application linéaire f : E -> E),

Un vecteur non nul x de E est un vecteur propre de f si f(x) est proportionnel à x (si il existe un scalaire k tel que f(x) = k*x).
Un scalaire k est une valeur propre de f lorsqu'il existe un vecteur x non nul de E tel que f(x)=k*x.

x est un vecteur propre associé à k et k est la valeur propre associée à x

[Le_chat]

Les vecteurs propres sont utiles lorsqu'il s'agit de décrire une application linéaire. On sait que si on trouve un vecteur propre, toute la droite engendrée par ce vecteur sera une droite avec que des vecteurs propres, par linéarité de l'application( si f(x)=k.x, alors f(m.x)=k.(m.x) )

Sur cette droite, notre application prend la forme "la plus simple" pour une application linéaire, c'est une application de la forme x->k.x où k est un scalaire.

Si on trouve des vecteurs propres, on sait donc que sur les lieux engendrés par ces vecteurs, notre application "compliquée" devient plus simple. Si par exemple on trouve une base de vecteurs propres, et bien on a réussi à décrire très simplement notre application.

[zoehart]

Désolé mais je ne sais pas ce qu'est un "endomorphisme de f ". :hein:

[GagaMaths]

un endomorphisme est simplement une application linéaire...
mais avec un niveau terminale S, c'est difficile de t'expliquer ce qu'est un vecteur propre, il faudrait 3 mois de cours d'algébre linéaire pr que tu comprennes !!