Vieil exo ENS

par **yos** » 05 Déc 2007, 14:11

Le cas p=1.
On prend a0[/TEX] tel que

ne contienne aucun terme de la suite. Quitte à choisir

assez petit, l'intervalle

constitue un Rubicon entre a et b que la suite aura bien du mal à traverser dés que n sera assez grand (tel que

). Autrement dit à partir d'un certain rang, tous les

sont du même côté du fossé

. Par exemple du côté de a. Ceci est clairement incompatible avec le fait que b est valeur d'adhérence.

par **ThSQ** » 05 Déc 2007, 14:28

yos a écrit:Le cas p=1.

Le cas p=1 c'est facile, il suffit de faire un dessin !

Des pistes/indices pour le cas p > 1 ?

par **yos** » 05 Déc 2007, 14:32

ThSQ a écrit:Le cas p=1 c'est facile, il suffit de faire un dessin !

Des pistes/indices pour le cas p > 1 ?

Ben oui mais Joker l'a demandé. Et puis c'est pas forcément simple de l'écrire clairement (ce que je ne prétends pas avoir fait).¨
Pour le cas général montre que A n'est pas réunion disjointe de deux fermés non vides.

par **tize** » 05 Déc 2007, 15:11

Il me semble que dans le cas borné sept-épées a déjà répondu à la question, non?
Sinon le cas non borné...?

par **Lierre Aeripz** » 05 Déc 2007, 15:52

tize a écrit:Il me semble que dans le cas borné sept-épées a déjà répondu à la question, non?
Sinon le cas non borné...?

La démonstration de sept-épées n'est pas convaincante. Pas forcément fausse mais le "il est clair que l'on peut trouver f tq..." est douteux.

par **tize** » 05 Déc 2007, 16:09

Lierre Aeripz a écrit:... mais le "il est clair que l'on peut trouver f tq..." est douteux.

Pardon je ne trouve pas ce passage, c'est bien dans le poste n°8 ?
C'est sans doute pas assez clair mais l'idée me parait bonne, non ? reste à formaliser...

par **ThSQ** » 05 Déc 2007, 16:26

Dans le cas borné j'entrevois une solution pour IR^n (en fait c'est la compacité qui compte) :
* l'ensemble des v.a est un fermé (classique = intersection de trucs fermés)
* c'est donc un compact
* on suppose que c'est 2 fermés F1 et F2 (donc compacts) disjoints
* alors d(F1,F2) = d > 0.
* ||u(n+1)-u(n)|| < d/4 à partir d'un certain rang
* maintenant il y a une infinité de x(n) à moins de d/4 de F1 ou de F2 (faire un crobard)
* y'en a donc une infinité entre F1 et F2 dans un compact : contradiction

Dans le cas non compact tu es sûr que c'est vrai yos ?

PS Mon contrex est faux au fait (évidemment). L'ens des v.a est en fait le disuqe unité ... :briques:

par **ThSQ** » 05 Déc 2007, 17:06

Une tentative de contrex dans IR² et reprenant le judicieux contrex sur les fermés disjoints à distance nulle !!!

On prend l'hyperbole H = {y = 1/x, x >=1}, et la droite réelle D >= 1.

On commence en (1,1) de H et on place 4 points à (1+i/2, 1/(1+i/2)) pour i=1,4.
On se déplace sur la droite D et on place 4 points en marche arrière jusqu'à (1,0).
On place 9 points sur D espacés de 1/3.
On repart sur H et on place 9 points en marche arrière jusqu'à (1,1).

etc

En gros on passe des coups de peinture de plus en plus fins et de plus en plus longs dans un sens sur H et dans l'autre sur D et inversement. Comme on passe de H à D de plus en plus loin et que l'espace entre chaque points diminue : ||x(n+1)-x(n)|| -> 0. (faut pas être trop pressé ....)

L'ensemble des va = [1,+oo[ U {(x,1/x),x >= 1} pas connexe

par **tize** » 05 Déc 2007, 17:17

Joli , et bien vu ThSQ :+:

par **ThSQ** » 05 Déc 2007, 17:25

Merci Tize.

Que penser d'une réciproque ?

Soit u(n) est une suite bornée dans un compact telle que l'ensemble de ses va soit connexe.

1. A-t-on ||x(n+1) -x(n) || -> 0 ?

2. Peut-on extraire de x(n) une suite y(n) = x(f(n)) telle que ||y(n+1)-y(n)|| -> 0 ?

3. Peut-on extraire de x(n) une suite y(n) = x(f(n)) telle que ||y(n+1)-y(n)|| -> 0 et telle que x(n) et y(n) ait le même ensemble de v.a. ?

Bon le 1. est une formalité. 2. paraît raisonnable (dans IR c'est clair). Quant au 3. ???

par **yos** » 05 Déc 2007, 18:07

ThSQ a écrit:Dans le cas non compact tu es sûr que c'est vrai yos ?

Ben je pense pas avoir dit ça. Tu peux aller de a à b en faisant des arches de plus en plus haute dans R² et donc l'ensemble des valeurs d'adhérence sera en 2 morceaux.
Sinon ta preuve est complète.

par **ThSQ** » 05 Déc 2007, 18:21

yos a écrit:Ben je pense pas avoir dit ça. Tu peux aller de a à b en faisant des arches de plus en plus haute dans R² et donc l'ensemble des valeurs d'adhérence sera en 2 morceaux.
Sinon ta preuve est complète.

Ah xcuze, c'est 7épées qui avait dit ça ....

Sinon ton contrex est bien plus simple (à décrire en tout cas) que le mien .... (c'est le métier :lol4:) :++:

Ton avis sur la "réciproque" ? Le point 3 en particulier.

par **yos** » 05 Déc 2007, 19:10

Voilà de bonnes idées de prolongement de l'exo. Du plus bel effet au grand oral.
J'en avais aussi :
-remplacer R^p par un métrique (c'est déjà OK).
-remplacer connexe par connexe par arcs (à mon avis c'est pas bon).
-La RMS demandait si tout compact connexe de R^p est l'ensemble des va d'une telle suite.

par **BertrandR** » 05 Déc 2007, 20:11

Si ca vous interesse j'ai une solution complete pourU(n) tq (U(n+1)-U(n)) tende vers 0. Mq l'ensemble des valeur d'adhérence de Un est un segment.

par **ThSQ** » 05 Déc 2007, 21:23

yos a écrit:Voilà de bonnes idées de prolongement de l'exo. Du plus bel effet au grand oral.
J'en avais aussi :
-remplacer R^p par un métrique (c'est déjà OK).
-remplacer connexe par connexe par arcs (à mon avis c'est pas bon).
-La RMS demandait si tout compact connexe de R^p est l'ensemble des va d'une telle suite.

C'est pas un peu risqué de tenter de généraliser/compléter un exo à un oral d'ENS ??? :stupid:

Intéressant les compléments :id2: . A noter que le troisième point implique que le 2ème est pô bon ...
Trouver un connexe non connexe par arcs qui soit l'ensemble des v.a. d'une telle suite ça va être trop auche.

par **SimonB** » 05 Déc 2007, 22:20

ThSQ a écrit:C'est pas un peu risqué de tenter de généraliser/compléter un exo à un oral d'ENS ??? :stupid

Au contraire, je suppose que c'est apprécié (si c'est fondé !). Ca montre un esprit de recherche et de découverte scientifique qui est justement l'esprit...

par **yos** » 05 Déc 2007, 23:03

BertrandR a écrit:Si ca vous interesse j'ai une solution complete pourU(n) tq (U(n+1)-U(n)) tende vers 0. Mq l'ensemble des valeur d'adhérence de Un est un segment.

Sous-entendu : "vos solutions d'amateur, c'est gentil mais bon"

par **BertrandR** » 05 Déc 2007, 23:09

Non point du tout, je suis en MPSI ce probleme n'est pas de mon niveau, simplement j'ai un bouquin d'exo de l'ENS avec le corrigé, donc je vous proposais de vous le donner si ca vous interesse. D'ailleur il y a une suite à l'exo :

Après ce que j'ai donné :
Soit f:[0,1] dans [0,1], continue. Soit (x(n) la suite définie par la donnée de x0 appartenant à [0,1] et la récurrence x(n+1) = f(x(n)). Prouver alors que :
x(n) converge ssi lim x(n+1)-x(n)=0

Y'a aussi une petite indication pour résoudre l'exo, donc si y'a des interessé dites moi je vous donne tout.

Mais yos, je suis loin d'etre prétentieux, en fait ma remarque avait seulement pour but de repondre a ton probleme... Désolé si ca l'a semblé mais je t'assure que c'était pas volontaire :).

par **yos** » 06 Déc 2007, 00:26

Je dis simplement que les solutions complètes sont dans les messages précédents il me semble (cas p=1 et p>1).

par **ThSQ** » 06 Déc 2007, 18:28

yos a écrit:Sous-entendu : "vos solutions d'amateur, c'est gentil mais bon"

lol ! :ptdr:

Tu devrais être plus gentil avec nous pauvres Math Sup !

Vieil exo ENS

Qui est en ligne