Isométrie

par **Facteur** » 04 Déc 2007, 13:29

Bonjour voilà j'ai un exercice à faire qui est le suivant :
(Théorème de Poincaré)
1) Soit (E,d) compact et f:(E,d)->(F,d') une bijection continue.
Monter que f est un homéomorphisme.
2) Soit g:(E,d)->(E,d) une isométrie.
( g isométrie <=> Pour tout x,x' de E on a d(g(x),g(x'))=d(x,x') )
Monter que g est surjective.

Pour le 1) on montre que f est fermée en utilisant les propriètés des fermés dans les compacts et la continuité.
(Un homéomorphisme est une application continue, bijective et fermée)

Pour le 2) j'ai montrer que c''est injectif et continue(1-lipschtzienne) mais je ne vois pas comment montrer la surjectivité.
Si quelqu'un pouvait me donner des renseignement se serait sympa.
Merci

par **tize** » 04 Déc 2007, 14:06

Bonjour,
pour la 1) c'est bon
pour la 2) c'est faux à moins que E soit de dimension finie...contre-exemple :
(E,d) l'espace métrique des suites de

,

qui à

de

associe

et

c'est une isométrie qui n'est clairement pas surjective...

par **yos** » 04 Déc 2007, 16:26

Salut Tize.
Si, c'est juste.
Dimension de quoi?? On a dit un compact métrique.

par **yos** » 04 Déc 2007, 16:30

Facteur a écrit:Pour le 2) j'ai montrer que c''est injectif et continue(1-lipschtzienne) mais je ne vois pas comment montrer la surjectivité.

Prends x dans E, la suite fofofo...of (x), extrait une sous-suite convergente, et écris qu'elle est de Cauchy.

par **yos** » 04 Déc 2007, 16:43

On avait même traité une version plus hard t'en souviens-tu?
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=24301&highlight=surjective

par **tize** » 04 Déc 2007, 16:54

Salut Yos,
oui je m'en souviens, merci :we:
J'ai cru que 1) et 2) était totalement indépendant et j'ai aussi bêtement cru que E était un evn; pourquoi ? je sais pas...la fatigue peut être... :triste:

par **Facteur** » 05 Déc 2007, 10:09

yos a écrit:Prends x dans E, la suite fofofo...of (x), extrait une sous-suite convergente, et écris qu'elle est de Cauchy.

Merci c'est comme ça que j'ai fait. cela nous donne que x appartient à la fermeture de Im g, qui est fermé donc x appartient à im g
d'où la surjectivité. :we:
Merci.
Sinon vous connaissez le th de poincaré en rapport avec cet exo?
J'ai cherché mais je trouve que des trucs de physique il a fait pas mal de chose.

par **tize** » 05 Déc 2007, 10:23

Bonjour,
ça a peut être un rapport avec ça...

par **Facteur** » 05 Déc 2007, 13:47

Oui il y a les meme hypothèses :happy2:
J'ai encore une petite question, merci pour votre patience, qu'elle condition dois-je poser sur la sous-suite pour que sa marche ?

Soit Y appartennant à E
xn=g°g°...(y) n fois
g continue (1-lipschitzienne) et E compact donc Im g compact
donc xn a une sous suite qui converge ( xp(n) )
Quel précaution doit t'on prendre sur p(n) pour que sa marche ?
Je suis passé ce matin au tableau et le prof ma dit que je devais mettre une hypothèse supplémentaire :livre:
Mais il m'a dit que j'étais sur la bonne voie :we:

par **yos** » 05 Déc 2007, 13:58

Cauchy : Pour m>n>N,

mais

(puisque

est une isométrie).

par **Facteur** » 05 Déc 2007, 14:05

yos a écrit:Cauchy : Pour m>n>N, mais (puisque est une isométrie).

Oui j'ai fait

Ensuite j'affirme que x est limite d'une sous suite(valeur d'adhérence), donc il appartient à la fermeture de Im g qui est fermé donc il appartient à im g
Mais on m'a demandé de préciser sur p(n).
Si tu vois ce qu'il voulait dire ?
Désolé j'ai du mal avec les balises
Merci :we:

par **yos** » 05 Déc 2007, 14:30

Facteur a écrit:Mais on m'a demandé de préciser sur p(n).
Si tu vois ce qu'il voulait dire ?

Ben, pas vraiment.
(p(n)) est une suite strictement croissante d'entiers naturels, ça suffit.

par **tize** » 05 Déc 2007, 14:32

p(n) est strictement croissante ? mais puisque tu as déjà dit que x(p(n)) est une sous suite alors c'est automatique...sinon je vois pas ce qu'il faudrait dire de plus...

par **Facteur** » 05 Déc 2007, 15:33

En fait mon prof est un peu pointilleux et quand j'ai dit que

etait une sous suite de im g(pour dire que x est une valeur d'adhérence) il n'a pas trop aimé et il m'a demander de préciser
Enfin tant pis, peut etre qu'il m'a mal compris, je verrais bien demain
Merci

par **tize** » 05 Déc 2007, 16:03

Ah oui là je comprends mieux...

n'est pas nécessairement une sous suite car la différence p(n+1)-p(n) n'est pas nécessairement strictement croissante !
Ce n'est pas la même chose que ce que Yos a dit :

...

par **Facteur** » 05 Déc 2007, 16:28

Oui je crois que le problème viens de là merci

par **yos** » 05 Déc 2007, 18:19

Ah oui c'est ça : j'ai cru aussi un moment qu'on pouvait prendre m=n+1.

par **Facteur** » 06 Déc 2007, 17:01

En fait il suffisait juste de poser

=

donc est adhérent à Im g qui est fermé ce qi prouve la surjectivité. Je sais pas pourquoi je me suis pris la tete avec cette histoire de sous suite
Et puis le fait d'etre au tableau m'a empeché de réflechir correctement :lol2:
En tout cas je vous dis merci à tous deux :++:

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