Isometrie dans R3 espace euclidien

[Kiwii]

Bonjour,
Je réfléchis actuellement à un exercice ayant pour visée de classifier les isométries de R3,
seulement voilà je suis bloquée au tout début. Si quelqu'un pouvait m'aider à avancer
Voici l'énoncé :
Soit A une matrice de O(3,R) distincte de ±I. Soit f l’endomorphisme dont la matrice dans la base
canonique est A.
1) Montrer que les seules valeurs propres réelles possibles de A sont 1 et -1.
2) On suppose det A = +1.
a) Montrer que 1 est valeur propre d’ordre 1 ou 3.
b) Montrer que dim(E1) = 1, que E1 orthogonal est invariant par f et que f/E1orthogonal est une rotation.
etc ...

J'en suis à vouloir montrer que E1 orthogonal est invariant.

[Antho07]

Soit , montrons que

Soit ,alors


Utilise le fait que

[Kiwii]

Ah oook... j'avais mal compris le sens de invariant par f!
en fait invariant par f ca signifie juste que si x Ap à l'ensemble f(x) aussi? :hein:

[Kiwii]

Autre question, les valeurs propres d'une isometrie dans R3 ne sont elles pas necessairement réelles? Je ne comprends pas pourquoi il est precisé réelles dans la question 1..

[yos]

Non : regarde une rotation par exemple. Une vp réelle et deux complexes.