Prouver que f est une isométrie

[docomort]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire qui me semble simple et pourtant je n'y arrive pas.
f est un endomorphisme de E qui est un espace euclidien.
f commute avec son adjoint f* et f²+Id=0.

Monter que f est une isométrie.

Mon raisonnement:
si on note A la matrice de f dans une base orthonormée, f isométrie<=> A orthogonale <=> tA*A=A*tA= In

f commute avec f* donc on a deja tA*A=A*tA
De plus f²+Id=0<=> (A)-1= -A
Bref il suffit de montrer que tA=-A, ce que je n'arrive pas à faire.

Merci si quelqu'un peut m'aider

[ToToR_2000]

Il faut montrer que pour toute matrice inversible, l'inverse de sa transposée est égale à la transposée de son inverse: c'est une propriété de base.

[docomort]

certes, cette propriété ne m'est pas inconnu.
Elle me donne que (tA)-1=-tA
Et puis?

[Nightmare]

Salut !

As-tu vu des théorèmes de réduction des endomorphismes normaux?

[docomort]

Euh oui quel est le rapport?

[Nightmare]

Ben, ton endomorphisme est supposé normal non?

[Ben314]

Ben, le rapport, c'est que dire que "f commute avec f*" ça veut exactement dire (définition) que f est normal et qu'il y a un théorème qui dit que si un endomorphisme (réel) est normal alors il existe une base orthonormée telle que la matrice de f dans cette base soit composée sur la diagonale de blocs 1x1 ou de blocs 2x2 (et évidement des 0 ailleurs)
[En fait ce résultat provient du fait que, sur C, tout endomorphisme normal est diagonalisable dans une base orthonormée]

[docomort]

D'accord.
Et où dois je utiliser f²= -Id?

[Nightmare]

Eh bien traduis cette égalité avec des matrices, en utilisant par exemple une réduite de f. Tu devrais observer que dans une certaine base f est de la forme diag(i,i,...,-i,-i) (i²=-1) et il est alors aisé de vérifier que cette dernière est orthogonale.