Géométrie affine : CNS pour une isométrie.

[Nightmare]

Bonsoir à tous :happy3:

Voici un problème qui m'a l'air tenace et dont je n'ai que quelques éléments de réponses.

Voici le monstre :

Soit où E est un plan euclidien.
On suppose que pour tous points A et B tels que alors .

Montrer que f est une isométrie

Avez-vous des idées?

Merci à ce qui se pencheront sur ce problème.

:happy3:

[tize]

Bonjour Nightmare,
Sait-on au moins si f est une application affine ? Si oui, ça n'est pas très difficile puisque l'on peut construire une base orthonormée de l'espace vectoriel associé à l'espace affine, pour et dans E on associe et on a alors d(a',B')=||A'B'||=1 et on se lance dans les calculs...

[Nightmare]

salut tize :happy3:

Non a priori f n'est pas supposée affine.

[tize]

salut tize :happy3:

Non a priori f n'est pas supposée affine.

Wow :doh: ...alors c'est bien plus difficile que ce à quoi je pensais...donc on sait seulement que f est une application de E dans E...si je trouve quelque chose je te fais signe.

[Linea]

Bonne chance Nightmare ! ^^ erf pas évident ton problème ! :hum: [ et 'tit coucou en passant qd mm !! :lol4: ]

[Nightmare]

Tize > Oui ça n'a vraiment pas l'air trivial !

Linea > Coucou et merci, il va m'en falloir du courage! :happy3:

[ThSQ]

C'est un résultat absolument merveilleux !

L'état de mes réflexions, j'ai le sentiment que je suis pas trop trop loin mais là c'est miam-time :

- f transforme un triangle équilatéral de côté 1 en un triangle équilatéral de côté 1
- on met deux triangles équilatéraux de côté 1 tête-bêche (ABC et ABC') alors en dessinant un troisième triangle on peut voir que f(C) != f(C') (sans dessin c'est dur) et que donc les deux images se retrouvent tête-bêche aussi
- la longueur est donc conservée elle aussi
- tout "pavage" en triangles équilatéraux de côté 1 se retrouve comme "pavage" en triangles équilatéraux de côté 1 image par une isométrie orthogonale = g
- donc laisse le pavage invariant
- est dense dans donc il est possible d'approximer d'aussi près que l'on veut par des segments de droites du pavage n'importe quelle "distance assez grande"

- ça doit être possible de supposer que h(M) != M, de faire grandir la droite Mh(M) assez loin pour obtenir une contradiction avec le dernier point.

[Maxmau]

si on arrive à montrer que f conserve l'alignement, on peut utiliser le théorème fondamental de la géométrie affine ( voir les différentes versions)pour conclure que f est affine..