Probléme sur les polynômes

par **kathimini** » 01 Déc 2007, 17:13

alors en faite il n'y a pas "d'écriture" il faut juste le laisser sous la forme -P(1)
ce qui ,nous donne P(n+1)-P(1) !!!!!!!! C'est bien ça? :we:

par **hellow3** » 01 Déc 2007, 17:16

kathimini a écrit:alors en faite il n'y a pas "d'écriture" il faut juste le laisser sous la forme -P(1)
ce qui ,nous donne P(n+1)-P(1) !!!!!!!! C'est bien ça? :we:

Je comprends pas.

t'en es bien à: b) prouver l'égalité 1+2+3...+n= P(n+1)- P(1)

par **kathimini** » 01 Déc 2007, 17:33

oui j'en suis toujours à cette question. Et je ne comprenais pas pourquoi 1+2+3...+n= P(n+1)-P(n)

ce que je veux dire c'est:
P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+P(4)-P(3)+P(5)-P(4) = P(4)-P(1)

on sait aussi que P(4)= P(n+1) et comme n est dans les naturels (donc pas de négatif), il restera toujours -P(1).

Par conséquent on peut dire que 1+2+3...+n= P(n+1)-P(1)
je n'en suis pas très sure... mais c'est ce que j'en ai déduis...

par **hellow3** » 01 Déc 2007, 17:44

"je n'en suis pas très sure... mais c'est ce que j'en ai déduis..."

Pourtant si tu regardes les trucs rouges, tu vois qu'ils s'annulent deux par deux en diagonales (hautGauche+BasDroite=0).
Tu peux donc les cocher deux par deux.
Il te restera donc le premier terme en haut à droite (-P(1)) et le dernier terme à gauche (P(n+1)).

hellow3 a écrit:
donc pour x=1, 1=P(1+1)- P(1)..............soit 1=P(2)-P(1)
donc pour x=2, 2=P(2+1)- P(2)..............soit 2=P(3)-P(2)
donc pour x=3, 3=P(3+1)- P(3)..............soit 3=P(4)-P(3)
donc pour x=4, 4=P(4+1)- P(4)..............soit 4=P(5)-P(4)
.....
...
donc pour x=n-1, n-1=P(n-1+1)- P(n-1)..soit n-1=P(n)-P(n-1)
donc pour x=n, n=P(n+1)- P(n)..............soit n=P(n+1)-P(n)

par **kathimini** » 01 Déc 2007, 17:54

Géniale!!!!!!! trop super!!!!!

Donc je pense avoir trouvé pour la suite!!!

Pour [n(n+1)]/2:

n=1 on a (1+1)/2=1
n=2 alors [2(2+1)]/2=3
n=3 alors [3(3+1)]/2=6
n=4 alors [4(4+1)]/2=10

On peut constater que l'écart entre chaque somme augmente:
3-1=2
6-3=3
10-6=4

Et on obtient 2;3;4...

Et donc pour les autres c'est pareil sauf que le degré varie; mais on obtient les mêmes résultats.
C'est bien cela? :id:

par **hellow3** » 01 Déc 2007, 18:02

La je suis désolé, mais je sais pas trop ce que tu fais.

kathimini a écrit:Géniale!!!!!!! trop super!!!!!

Donc je pense avoir trouvé pour la suite!!!

Pour [n(n+1)]/2:

n=1 on a (1+1)/2=1
n=2 alors [2(2+1)]/2=3
n=3 alors [3(3+1)]/2=6
n=4 alors [4(4+1)]/2=10

On peut constater que l'écart entre chaque somme augmente:
3-1=2
6-3=3
10-6=4

Et on obtient 2;3;4...

Et donc pour les autres c'est pareil sauf que le degré varie; mais on obtient les mêmes résultats.
C'est bien cela? :id:

On a fait:
b) prouver l'égalité 1+2+3...+n= P(n+1)- P(1)
On veut:
c) en déduire que 1+2+3...+n= [n(n+1)] /2

Tu connais P(x) (tu l'as déterminer dans a.)
Essaye de calculer P(n+1)-P(1) pour montrer que c'est égal à [n(n+1)] /2

par **kathimini** » 03 Déc 2007, 21:27

bjr

dsl ça fait longtemps que je n'ai pas répondu mais je me suis penchée un peu sur la question...

dans le a), on sait que le polynôme P de degré 2 est -1 car:

P(x+1)²-P(x)² = x
x²+2x+1-x²= x
2x+1=x c'est à dire x=-1

par conséquent on peut remplacer -1 par n dans le b)

[n(n+1)]/2 = n
[-1(-1+1)]/2 = -1
[-1(-1+1)-2]/2
-2/2 = -1
on retrouve le même résultat que dans le a)

c'est bien cela?

par **hellow3** » 03 Déc 2007, 21:43

kathimini a écrit:bjr

dsl ça fait longtemps que je n'ai pas répondu mais je me suis penchée un peu sur la question...

dans le a), on sait que le polynôme P de degré 2 est -1 car:
Non, on veut un polynome P(x)=ax²+bx+c on veut trouver a, b et c. On veut pas un x.
P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
Calcules P(x+1)-P(x)
P(x+1)²-P(x)² = x
x²+2x+1-x²= x
2x+1=x c'est à dire x=-1

par conséquent on peut remplacer -1 par n dans le b)

[n(n+1)]/2 = n
[-1(-1+1)]/2 = -1
[-1(-1+1)-2]/2
-2/2 = -1
on retrouve le même résultat que dans le a)

c'est bien cela?

Pas vraiment.

par **hellow3** » 03 Déc 2007, 22:33

Tu sais que P(x) est de degré 2, donc P(x)=ax²+bx+c ou a,b et c sont des réels.
Trouver P, c'est déterminer a,b et c.

P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
P(x)=ax²+bx+c

Donc P(x+1)-P(x)=a(x+1)²+b(x+1)+c -(ax²+bx+c)
=a(x²+2x+1)+b(x+1)+c -(ax²+bx+c)
=ax²+2ax+a +b(x+1)+c -(ax²+bx+c)
=ax²+2ax+a +bx+b +c -(ax²+bx+c)
=ax²+2ax+a +bx+b +c -ax²-bx-c
=2ax+a +bx+b +c -bx-c
=2ax+a +b +c -c
=2ax+ a+b

On te dis que P(x+1)-P(x)=x
Donc 2ax +a+b=x

Deux polynomes sont egaux si et seulement si les coefficients des monomes de même degré sont égaux.

Donc 2a=1 (car 2ax +a+b = 1x)
Donc a+b=0 (car 2ax +a+b = x + 0)

2a=1 donc a=1/2
a+b=0, donc b=-a=-(1/2)

P(x)=(1/2)x² +(-1/2)x +c
P(x)= x²/2 -x/2 +c
c est quelconque. (Dans l'énoncé, on te demande UN polynome, pas LE polynome...)

prenons c=0 par exemple, soit P(x)=x²/2 -x/2

pour la question 1.c.
Montrer que: 1+2+3...+n= [n(n+1)] /2

Dans le b., on a montré:1+2+3...+n= P(n+1)- P(1)
Si on montre que P(n+1)- P(1)=[n(n+1)] /2, on aura réussi, puisque:
on aura: 1+2+3...+n= P(n+1)- P(1)=[n(n+1)] /2

Montrons donc que:P(n+1)- P(1)=[n(n+1)] /2,
P(x)=x²/2 -x/2=(x/2)(x-1)
Donc P(n+1)=((n+1)/2)*(n+1 -1)=((n+1)/2)*n=[n(n+1)/2]
Comme P(1)=(1)²/2 -(1)/2=0

P(n+1)-P(1)=[n(n+1)/2]

par **fibonacci** » 04 Déc 2007, 07:44

Bonjour,

par **kathimini** » 05 Déc 2007, 17:24

daccord!! merci énormément!!!

alors si j'ai bien compris il faut utilisé cette même méthode pour 2)
cad:
soit un polynome de degré 3: ax^3+ bx²+cx+d

Q(x+1)^3= a(x+1)^3+ b(x+1)²+c(x+1)+d
= ax^3+ 3ax²+3ax+a+ bx²+2bx+b+ cx+c+ d

Q(x)^3= ax^3+bx²+cx+d

q(x+1)^3-Q(x)^3=

ax^3-ax^3 +3ax²+3ax+a+ bx²-bx²+2bx+b+ cx-cx+c+d-d
=3ax²+3ax+2bx+c
=3ax²+ x(2b+3a)+c

comme nous l'avons vu précédement,
"Deux polynomes sont egaux si et seulement si les coefficients des monomes de même degré sont égaux."

alors 3a=1 donc a=1/3

x²=x²+x(2b+1)+c
0=x(2b+1)+c avec c=0

soit: x=0 OU 2b+1=0
b=-1/2

Q(x+1)-Q(x)= x²-1/2x

je me trompe?

par **hellow3** » 05 Déc 2007, 18:14

De rien.
Dans l'idée c'est ça, t'as compris :++:
Juste quelques erreurs de calcul.

kathimini a écrit:daccord!! merci énormément!!!

alors si j'ai bien compris il faut utilisé cette même méthode pour 2)
cad:
soit un polynome de degré 3: ax^3+ bx²+cx+d
T'as pas besoin de noter Q(x+1)^3 juste Q(x+1) ou Q(x), le ^3 ca va pas, ca veut dire autre chose.

Q(x+1)^3= a(x+1)^3+ b(x+1)²+c(x+1)+d
= ax^3+ 3ax²+3ax+a+ bx²+2bx+b+ cx+c+ d

Q(x)^3= ax^3+bx²+cx+d

q(x+1)^3-Q(x)^3=

ax^3-ax^3 +3ax²+3ax+a+ bx²-bx²+2bx+b+ cx-cx+c+d-d
=3ax²+3ax+2bx+c il te manque +a+b que t'as oublié.
=3ax²+ x(2b+3a)+c +a+b

comme nous l'avons vu précédement,
"Deux polynomes sont egaux si et seulement si les coefficients des monomes de même degré sont égaux."

alors 3a=1 donc a=1/3

x²=x²+x(2b+1)+c C'est les coéficients qui doivent être égaux: 0=2b+1 et a+b+c=0
0=x(2b+1)+c avec c=0

soit: x=0 OU 2b+1=0
b=-1/2

Q(x+1)-Q(x)= x²-1/2x

je me trompe?

par **fibonacci** » 06 Déc 2007, 06:00

Bonjour,

Quelques erreurs mais l approche est correcte. Imprégnez-vous bien de la démarche et, question ; peut-on trouver la somme des

etc.

Je vous souhaite une bonne continuation.

par **kathimini** » 31 Déc 2007, 16:07

merci beaucoup pour l'aide que vous m'avez fourni ça m'a beaucoup aidé!!! :++:

a plus tard :we:

Probléme sur les polynômes

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