Probleme sur les polynomes
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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Laurene123
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par Laurene123 » 04 Oct 2007, 21:19
Bonsoir, je n'arrive pas à faire ce problème: déterminer les réels a et b tels que le polynome ax(n+1) + bx(n) + 1 soit factorisable par le polynome (x-1)². Entre parentheses sont les indices (n+1 et n sont indices de x). J'ai essayé avec un tableau ou avec l'algorithme d'Horner mais ça ne mene à rien à cause des puissances en n, je pense qu'il y a une astuce que j'ai pas vu. (merci d'avance)
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thomasg
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par thomasg » 04 Oct 2007, 21:40
bonsoir, je suppose que quand tu dis indices tu veux dire exposant.
Si (x-1)² factorise ton polynôme cela veut dire que 1 est racine de ton polynôme, donc a+b+1=0.
Il faut voir si cela n'aide pas à poursuivre.
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pianozik
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par pianozik » 04 Oct 2007, 22:44
1 est une racine du polynôme, mais aussi une racine double, ce qui fait que
divise
, si
, donc tu n'as qu'à calculer la dérivée, et et dire que 1 est encore racine de ce polynôme.
En general, pour un polynôme
, si
est une racine d'orde
, alors
est une racine de
et
est différent de
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Laurene123
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par Laurene123 » 04 Oct 2007, 23:35
Oui pardon je voulais dire exposants.
En fait je suis en premiere et on a pas encore vu les dérivées.
Pour ce qui est de a+b+1=0 j'ai essayé de factoriser par x(n) le polynome pour trouver a+b+1 mais ça marche pas et meme si ça marchais ça m'aiderais pas à trouver a et b. Donc je me suis concentré sur a+b+1=0 et si 1 est solution double alors -b/2a=1 (?) et après je fais un système et je trouve a=1 et b=-2 mais ça me semble très faux.
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guadalix
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par guadalix » 04 Oct 2007, 23:39
Il est fort pianozik quand meme...chapeau
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thomasg
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par thomasg » 05 Oct 2007, 09:09
En appliquant la méthode proposée par pianozik associée à ma première remarque on trouve je crois
b=-n+1 et a=n-2
Je n'ai pas bien compris ton dernier message.
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guadalix
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par guadalix » 05 Oct 2007, 09:17
thomasg a écrit:En appliquant la méthode proposée par pianozik associée à ma première remarque on trouve je crois
b=-n+1 et a=n-2
Je n'ai pas bien compris ton dernier message.
salut je trouve plutot b=-n-1 et a= n, à verifier...
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thomasg
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par thomasg » 05 Oct 2007, 15:20
Mes calculs précédents étaient faux,
1 racine donc a+b+1=0
Le polynôme dérivé est: (n+1)ax^n+nbx^(n-1)+1
1 est racine du polynôme dérivé donc
(n+1)a+nb+1=0
a+b+1=0
la résolution du système me donne
b=-n et a=n-1
A bientôt.
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rene38
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par rene38 » 05 Oct 2007, 15:32
Bonjour
thomasg a écrit:Le polynôme dérivé est: (n+1)ax^n+nbx^(n-1)+1
Je suis intimement persuadé que non et serais d'accord avec le résultat de guadalix
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guadalix
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par guadalix » 05 Oct 2007, 15:34
rene38 a écrit:BonjourJe suis intimement persuadé que non et serais d'accord avec le résultat de guadalix
Merci rene38
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pianozik
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par pianozik » 05 Oct 2007, 17:04
bon, tout le monde a trouvé que
ce qui donne
. Retour au polynôme. Dans ce cas le polynôme serait égal à
Le deuxième terme c'est une identité remarquable, je crois que vous l'avez en cours, et x
(si ça ne figure pas au cours, tu peux la démontrer par récurrence)Donc:
Puisque
est divisible par
alors
est divisible par
, ce qui fait que
est encore une racine de ce deuxième polynôme qu'on vient d'obtenir. En remplaçant, on aboutit à
(on somme fois )donc
d'où
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guadalix
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par guadalix » 05 Oct 2007, 17:16
pianozik a écrit:bon, tout le monde a trouvé que
ce qui donne
. Retour au polynôme. Dans ce cas le polynôme serait égal à
Le deuxième terme c'est une identité remarquable, je crois que vous l'avez en cours, et x
(si ça ne figure pas au cours, tu peux la démontrer par récurrence)Donc:
Puisque
est divisible par
alors
est divisible par
, ce qui fait que
est encore une racine de ce deuxième polynôme qu'on vient d'obtenir. En remplaçant, on aboutit à
(on somme fois )donc
d'où
Trop compliqué
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pianozik
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par pianozik » 05 Oct 2007, 17:25
pas du tout, c'est très simple
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thomasg
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par thomasg » 06 Oct 2007, 09:52
Mes excuses,
je dois vraiment manquer de pratique pour me tromper sur une dérivée de polynôme.
Pardon.
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Laurene123
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par Laurene123 » 06 Oct 2007, 13:54
Je suis un peu (trop) perdu je n'ai pas encore fait dérivées donc je ne comprend rien. A partir de ax(n+1) + bx(n) + 1 et a+b+1=0 comment est-ce que je peux arrivé à a=n?
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thomasg
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par thomasg » 06 Oct 2007, 16:00
Pianozik t'a proposé une méthode sans utiliser les dérivées,
tu devrais la relire et demander ce que tu ne comprends pas.
Au revoir.
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Laurene123
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par Laurene123 » 07 Oct 2007, 00:18
ok j'ai relu la méthode de pianozik. En fait je comprend pas quel est l'identité remarquable c'est ax^n(x-1)-(x^n-1) ? et comment on arrive à (x-1)(x^(n-1)+ x^(n+2) + ... +1) ?
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fahr451
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par fahr451 » 07 Oct 2007, 00:24
bonsoir
j'ai relu ce qu'a écrit pianozik c'était clair
x^n - 1 = (x-1) ( x^(n-1) +...+x^2 +x+1)
qui se démontre en développant le second membre tous les termes s'en vont sauf le premier et le dernier
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Laurene123
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par Laurene123 » 07 Oct 2007, 12:45
ahhhh j'ai compris MERCI beaucoup tout le monde (surtout pianozik) :we:
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pianozik
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par pianozik » 08 Oct 2007, 23:26
de rien, dsl si je réponds pas des fois, vous comprenez qu'il s'agit des études. Bon courage à tout le monde.
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