Probléme sur les polynômes

[kathimini]

Bonjour je suis élève de première s et je suis bloquée sur un exercice de math...comme je n'ai personne pour m'aider j'aimerai savoir si vous vous pouvez le faire... Je vous remercie d'avance :) voici le problème :

1) La somme 1+2+3...+n
a) déterminé un polynôme P de degré 2 vérifiant pour tout x, P(x+1)-P(x)=x
b) prouver l'égalité 1+2+3...+n= P(n+1)- P(n)
c) en déduire que 1+2+3...+n= [n(n+1)] /2

2) la somme 1²+2²+3²...+n²
a) déterminé un polynome Q de degré 3 vérifiant pour tout x,
Q (x+1)- Q(x)=x²
b)prouver l'égalité 1²+2²+3²...+n²= [n(n+1)(2n+1)]/6

je pense avoir trouvé pour le 1) a) et 2) a) mais je suis bloquée sur la suite...

[kathimini]

Bonjour je suis élève de première s et je suis bloquée sur un exercice de math...comme je n'ai personne pour m'aider j'aimerai savoir si vous vous pouvez le faire... Je vous remercie d'avance :) voici le problème :

1) La somme 1+2+3...+n
a) déterminé un polynôme P de degré 2 vérifiant pour tout x, P(x+1)-P(x)=x
b) prouver l'égalité 1+2+3...+n= P(n+1)- P(n)
c) en déduire que 1+2+3...+n= [n(n+1)] /2

2) la somme 1²+2²+3²...+n²
a) déterminé un polynome Q de degré 3 vérifiant pour tout x,
Q (x+1)- Q(x)=x²
b)prouver l'égalité 1²+2²+3²...+n²= [n(n+1)(2n+1)]/6

je pense avoir trouvé pour le 1) a) et 2) a) mais je suis bloquée sur la suite...

[hellow3]

Salut.

b) prouver l'égalité 1+2+3...+n= P(n+1)- P(n)
c'est pas plutôt: 1+2+3...+n= P(n+1)- P(1)?

[kathimini]

bonjour!!!

ui l'équation est bien P(n+1)-P(1)... :hum: je me suis trompée dans l'équation... désolée... mais je ne vois pas qu' elle est la solution...
vous avez une idée? svp?

[hellow3]

x=P(x+1)-P(x)
donc:
1=P(2)-P(1)
2=P(3)-P(2)
3=P(4)-P(3)
....
Fais la somme et regardes ce qui se passe.

[kathimini]

si j'ai bien compris, la somme des polynômes x c'est à dire 1;2;3... et égale au double de P(x+1)-P(x) (qui vaut toujours 1) donc 1+1+1...=2x

mais pourquoi l'équation ce serait P(x+1)-P(1)? et pas P(x+1)-P(x)?

[hellow3]

si j'ai bien compris, la somme des polynômes x c'est à dire 1;2;3... et égale au double de P(x+1)-P(x) (qui vaut toujours 1) donc 1+1+1...=2x
HOU LA!, mollo.

1=P(2)-P(1)
2=P(3)-P(2)
3=P(4)-P(3)
....
n-1=P(n)-P(n-1)
n=P(n+1)-P(n)

quand tu fais la somme des lignes, qu'est-ce qui te restes?

[kathimini]

quand je fais la somme des lignes,

P(n)-P(n-1)
P(n+1)-P(n)

je trouve 1 pour chaque ligne donc ici 2... et quand j'ajoute n-1+n= 2n-1 ?
:hum:

[hellow3]

P(x+1)-P(x)=x
Donc par exemple P(3)-P(2)=2 pas 1.

Regardes:
1=P(2)-P(1)
2=P(3)-P(2)
3=P(4)-P(3)
....
n-1=P(n)-P(n-1)
n=P(n+1)-P(n)

donc 1+2+3+...+(n-1)+n=P(2) - P(1) + P(3) - P(2) + P(4) - P(3) + ... +P(n)-P(n-1) + P(n+1) - P(n)
Tu vois que P(2) disparait +P(2) -P(2)=0
pareil pour P(3) ou: + P(3) - P(3)=0
idem pour P(4)
.....
idem pour P(n-1),
et pour P(n)!!!

OK?

[kathimini]

Mais ce que je ne comprends pas c'est le rapport entre x=P(x+1)- P(x)
et 1+2+3...+n= P(n+1)-P(1)...

et moi au début j'avais pensé a faire:
(x+1)²-x²
= 2x-1... Et ce chiffre est de degré 1...

je fais pour mon mieux pour essayer de comprendre!! lol je ne veux pas que vous pensiez le contraire!!

[hellow3]

je fais pour mon mieux pour essayer de comprendre!! lol je ne veux pas que vous pensiez le contraire!!

Pas de problèmes. C'est important que tu comprennes bien cette façon de faire. Ca sert souvent.

x=P(x+1)- P(x)

donc pour x=1, 1=P(1+1)- P(1) soit 1=P(2)-P(1)
donc pour x=2, 2=P(2+1)- P(2) soit 2=P(3)-P(2)

OK? jusque là?

[kathimini]

oué pour l'instant no problém je suis!!! :we:

[hellow3]

Tu continue:

x=P(x+1)- P(x)

donc pour x=1, 1=P(1+1)- P(1)..............soit 1=P(2)-P(1)
donc pour x=2, 2=P(2+1)- P(2)..............soit 2=P(3)-P(2)
donc pour x=3, 3=P(3+1)- P(3)..............soit 3=P(4)-P(3)
donc pour x=4, 4=P(4+1)- P(4)..............soit 2=P(5)-P(4)
.....
donc pour x=n-1, n-1=P(n-1+1)- P(n-1)..soit n-1=P(n)-P(n-1)
donc pour x=n, n=P(n+1)- P(n)..............soit n=P(n+1)-P(n)

OK?

[kathimini]

ouais d' accord.

1=P(2)-P(1)
2=P(3)-P(2)
3=P(4)-P(3)
4=P(5)-P(4)...

d'ou n-1= P(n)-P(n-1) => x=n-1
et n=P(n+1)-P(n) => (pour x=2? ou pour x=n?)

sinon ça va pour l'instant :we:

[hellow3]

pour x=n. T'as raison.

Maintenant si
a=b
c=d
e=f
on peut faire en additionnant les lignes: a+c+e=b+d+f OK?
C'est ce qu'on va faire avec tout ce bazar en rouge:

donc pour x=1, 1=P(1+1)- P(1)..............soit 1=P(2)-P(1)
donc pour x=2, 2=P(2+1)- P(2)..............soit 2=P(3)-P(2)
donc pour x=3, 3=P(3+1)- P(3)..............soit 3=P(4)-P(3)
donc pour x=4, 4=P(4+1)- P(4)..............soit 4=P(5)-P(4)
.....
...
donc pour x=n-1, n-1=P(n-1+1)- P(n-1)..soit n-1=P(n)-P(n-1)
donc pour x=n, n=P(n+1)- P(n)..............soit n=P(n+1)-P(n)
-------------------------------------------------------------------------
On additionne les égalitées rouges.
1+2+3+4+ ... +(n-1) +n pour les membres à gauche du égal.
=
P(2)-P(1) + P(3)-P(2) + P(4)-P(3) + P(5)-P(4) + ... + P(n)-P(n-1) + P(n+1)-P(n) pour les membres à droite du égal.

[kathimini]

ok d'accord. :ptdr:

Mais si on ajoute:

P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+P(4)-P(3)+P(5)-P(4)... la somme est égale à zéro. alors que 1+2+3+4+5... ça ne fait pas zéro... :hein:

[kazeriahm]

salut

tu dis "la somme égale à zéro"

justement non. P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+p(4)-P(3)+......+P(n)-P(n-1)=P(n)-P(1)

[hellow3]

Ca fait P(n+1)-P(1) exactement.

[kathimini]

je ne comprends pas pourquoi P(n)-P(1)

parce que:

P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+P(4)-P(3)= -P(1)+P(4) soit P(n+1)-P(n)

[hellow3]

je ne comprends pas pourquoi P(n)-P(1)

parce que:

P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+P(4)-P(3)= -P(1)+P(4) soit P(n+1)-P(n)

P(4)=P(n+1) OK.
mais -P(1) n'est pas égal à -P(n) (tu as pris n=3).