[Bio-Véto] Injective, surjective et bijective sont dans un bateau ...

[Non-inscrite]

Comme vous vous en doutiez, ce n'est pas parce que j'ai désormais l'honneur de poster dans la rubrique "Supérieur" que mes capacités en maths ont augmenté.
Puisqu'il parait que les qualités essentielles d'un bon élève de prépa sont l'efficacité et l'esprit de synthèse, je compenserai donc mes défaillances de comprenette par un surcroît de brièveté....

Les questions sont les suivantes :

(1) Quel est le comble d'un jardinier ?
(2) Monsieur et Madame Robin ont une fille. Comment s'appelle-t-elle ?
(3) Quelle est la différence entre une fonction et une application ?

Pour l'instant ce sera tout, mais je n'en suis qu'à l'exercice 3 de ma page d'exos .... :hum:

[Nightmare]

Bonjour

1) Se prendre un rateau ?

2) euh ...

3) Une application est une fonction dont l'ensemble de départ est l'ensemble de définition.

:happy3:
Jord

[Galt]

1) ...
2) ...
3) Une application de E dans F associe à tout x de E un unique élément de F, une fonction de E dans F associe à tout x de E un élément de F au maximum. Ainsi est une fonction de dans , mais une application de vers (et même une bijection dans ce cas.
La différence est subtile

[Non-inscrite]

Oula
La différence entre "un unique" et "un au maximum" signifierait qu'une fonction peut n'associer aucune élément de F à un x de E ??

Une fonction dont l'ensemble de départ est l'ensemble de définition...

Ahhh d'accord je crois que j'ai compris.

C'est à dire qu'une application "n'ignore" aucun élément de son ensemble de départ, alors qu'une fonction le peut, si certains éléments de son ensemble de départ ne sont pas compris dans son ensemble de définition ?

D'accord d'accord je vais me mettre à la chasse aux scarabées ...
(pour les réponses aux questions (1) et (2), voir un prochain post, pour garder le suspence ...)

[Non-inscrite]

Et là, c'est le drame.
Explicitons :
Lorsque :
f application de E dans F et g application de F dans G
gof surjective
pourquoi a t on besoin de la condition "g est injective" (càd g est bijective, puisque gof est surjective) pour affirmer que f est subjective ?

Plus précisément, lorsque pour tout z appartenant à G :
il existe un y appartenant à F tel que g(y)=z
il existe un x appartenant à E tel que g(f(x))=z
pourquoi a t on besoin de préciser que
pour tout z de G il existe un unique y appartenant à F tel que g(y)=z
pour affirmer que
pour tout y de F il existe un x de E tel que y=f(x) ?

ça y est, je commence à voir des patatoïdes, des croix et des flèches partout. C'est l'intoxication mathématique en phase d'incompréhension totale ?

[Galt]

Bonjour
L'intoxication avec des patatoïdes est très grave, mais pas mortelle si elle est prise à temps
Attention : dans le problème, on a
Si gof surjective et g injective, alors f est surjective (est-ce cela qu'il faut prouver ?), mais la condition g injective n'est pas nécessaire pour avoir f surjective. Par exemple
, , , , : gof est surjective, f est surjective, et g n'est lamentablement pas injective.

[Non-inscrite]

Effectivement ...
En fait, il faudrait donc transformer la condition "g est injective" pour aboutir à une autre proposition plus générale qui elle permet de conclure à la surjectivité de f ....

Oui Galt il s'agit bien de prouver qu'avec gof surjective et g injective on a f surjective. En fait mon problème est que je n'arrive point à imaginer qu'elle ne le soit pas (d'où mes problèmes de patatoïdes mouvants persistants dans le champ visuel ...), et que je n'arrive pas à trouver un contre exemple qui me permettrait de mieux voir ce à quoi mêne la première hypothèse et ce qu'apporte la seconde.

Enfin ce n'est pas dramatique, il ne s'agit que d'un exercice isolé, peut être vaudrait il mieux que je demande demain à quelqu'un de la classe pour qu'il me fasse de gros schémas grandeur nature de patates roses vertes ou bleues, et ainsi me démaraboute, au moins provisoirement :dingue:

[Galt]

Bon, alors prouvons
hypothèses : gof est surjective et g est injective
Fixons nous un élément y de F, et considérons z = g(y). C'est un élément de G, et gof est surjective. Il existe donc un élément x de E tel que gof (x) = z, c'est à dire g(f(x))=z.
On a donc g(f(x))=z, mais aussi g(y)=z. Or g est injective, donc ...
Pour démontrer des trucs sur les fonctions injectives, surjectives, etc, il faut bien poser ses hypothèses, et ensuite, c'est une question d'expérience ou de flair
Bonne chance pour la suite

[Non-inscrite]

Ok merci j'ai compris la démonstration, même si j'ai toujours un peu de mal à m'imaginer la chose (cela vient justement de ces sacrosaintes patates, qui mettent dans le même sac les y et les f(x)).
A vrai dire je m'étais déjà demandé en cours lors de la démonstration de "si gof surjective alors g surjective" pourquoi on ne pouvait pas dire que f est surjective, mais sur le moment je n'avais pas eu le temps d'approfondir la question (sinon le temps de faire pousser mes patates j'aurai eu trois tableaux de retard ...), et j'avais ensuite éludé la chose, pensant naïvement que je finirai bien par comprendre sur des exemples concrets et à grands renforts d'exemples concrets...
Merci encore ! Régime sans patates demain, ça aidera ... :lol5: