Développement asymptotique

[Anonyme]

Bonjour,

Comment obtenir le développement asymptotique à 3 termes de x_n défini comme
étant la solution entre 0 et 1 de l'équation exp(x) = n*x (avec n > 3) ??
Je suis preneur de toute méthode...
Merci.

[Anonyme]

même question pour x'_n défini comme étant la solution supérieure à 1 (0 a écrit dans le message de news:
bn3a9i$vp7$1@news-reader2.wanadoo.fr...
> Bonjour,
>
> Comment obtenir le développement asymptotique à 3 termes de x_n défini
comme
> étant la solution entre 0 et 1 de l'équation exp(x) = n*x (avec n > 3) ??
> Je suis preneur de toute méthode...
> Merci.
>
>

[Anonyme]

gfr wrote:
> Comment obtenir le développement asymptotique à 3 termes de x_n défini comme
> étant la solution entre 0 et 1 de l'équation exp(x) = n*x (avec n > 3) ??
> Je suis preneur de toute méthode...

soit f(x)= exp(x)/x

f'(x)= exp(x)*(x-1)/x^2 ==> f est décroissante sur [0,1]

ainsi la suite (u_n) est décroissante,comme elle est minorée,elle converge vers
sa seule limite possible qui est 0.

ainsi exp(u_n)/u_n=n et u_n -->0
on a alors exp(u_n)=1+u_n +o(u_n)=n*u_n
soit 1+(n-1)u_n -->0 et u_n ~~ 1/n

on pose ensuite u_n=1/n + w_n avec w_n=o(1/n)
on injecte encore dans la formule et exp(1/n)*exp(w_n)=1+n*w_n
et exp(w_n)=1+w_n+o(w_n) et exp(1/n)=1+1/n
ainsi (1+1/n +o(1/n) ) (1+w_n +o(w_n) )= 1+nw_n
soit 1 + 1/n+(1+1/n)w_n +o(1)=1+nw_n
d'où w_n ~~-1/n^2 si pas d'erreur
ensuite, tu poses u_n=1/n-1/n^2+x_n et tu refais le même procédé..

Osiris

[Anonyme]

> > Comment obtenir le développement asymptotique à 3 termes de x_n
défini
> comme[color=green]
> > étant la solution entre 0 et 1 de l'équation exp(x) = n*x (avec n >[/color]
3) ??

> même question pour x'_n défini comme étant la solution supérieure à 1
(0 x_n exp(x)/x sur ]0,1[). Comme exp(x_n)=n.x_n, x_n
équivaut à 1/n. Puis tu poses x_n=(1+epsilon_n)/n, que tu réinjectes,
etc... J'ai trouvé x_n=1/n + 1/n^2 + ...

Le second cas est plus difficile : tu peux te convaincre que x'_n tend
vers l'infini, puis que x'_n est dépassé par tous les a.n^u pour u>0.
Ensuite j'y suis allé un peu au pif, et j'ai trouvé x'_n équivalent à
ln(n). x'_n =ln(n) + k_n te montre que k_n équivaut à log(log(n)), et là
enfin tu respires car le reste h_n (x'_n = log(n) + log(log(n)) + h_n)
tend vers 0 : x'_n=log(n) + log(log(n)) + log(log(n))/log(n) + (un truc
moche qui tend vers 0).

Après, tout dépend de ce que tu appelles développement asymptotique...

--
Jérémie Rocher.

[Anonyme]

> on pose ensuite u_n=1/n + w_n avec w_n=o(1/n)
> on injecte encore dans la formule et exp(1/n)*exp(w_n)=1+n*w_n
> et exp(w_n)=1+w_n+o(w_n) et exp(1/n)=1+1/n
> ainsi (1+1/n +o(1/n) ) (1+w_n +o(w_n) )= 1+nw_n
> soit 1 + 1/n+(1+1/n)w_n +o(1)=1+nw_n
> d'où w_n ~~-1/n^2 si pas d'erreur

Hum. Il y a une erreur de signe : exp(1+1/n+w_n)=1+1/n+o(1/n) (car
w_n=o(1/n)) et ceci doit être égal à 1+n*w_n, donc w_n=1/n^2+o(1/n^3).
De même, quand on réinjecte à l'étape suivante, on ne pousse dans
l'exponentielle que jusqu'au o(1/n^3), si l'on veut éviter les erreurs
de calculs.

> ensuite, tu poses u_n=1/n-1/n^2+x_n et tu refais le même procédé..
>
> Osiris
>

[Anonyme]

merci à tous les deux ...


"gfr" a écrit dans le message de news:
bn3b8c$jtj$1@news-reader5.wanadoo.fr...
> même question pour x'_n défini comme étant la solution supérieure à 1 (0 x_n
> Merci !!
>
> "gfr" a écrit dans le message de news:
> bn3a9i$vp7$1@news-reader2.wanadoo.fr...[color=green]
> > Bonjour,
> >
> > Comment obtenir le développement asymptotique à 3 termes de x_n défini
> comme
> > étant la solution entre 0 et 1 de l'équation exp(x) = n*x (avec n > 3)[/color]
??[color=green]
> > Je suis preneur de toute méthode...
> > Merci.
> >
> >
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>[/color]